ENS Lyon - L3 2 f´evrier 2009 Analyse complexe
Fonctions holomorphes TD-2
Exercice 1. – Petit calcul
Soit f une fonction holomorphe sur un ouvertD⊂C. V´erifier les ´egalit´es suivantes : i) ∂Ref
∂z = f′
2 ; ii) ∂|f|
∂z = f′|f|
2f si f ne s′annule pas ; iii) ∂2|f|2
∂z∂z¯ = f′
2.
Exercice 2. – Fonctions harmoniques
Montrer que toute fonction harmonique d’un disque ouvert D dans R s’´ecrit comme la partie r´eelle d’une fonction holomorphe.
Exercice 3. – Autour du logarithme complexe
Soit Ω⊂C∗. Un logarithme sur Ω est une fonction continue f : Ω→Cv´erifiant exp◦f =idΩ. 1. Montrer qu’il n’existe pas de fonction logarithme continue sur le cercle unit´e.
2. Quel est le lien entre les diff´erents logarithmes sur un ouvert connexe donn´e ?
3. Montrer que tout logarithmef sur un ouvert deCest holomorphe de d´eriv´eef′(z) = 1/z.
R´eciproquement, montrer que toute fonction holomorphe sur un ouvert connexe Ω, de d´eriv´ee 1/z, est un logarithme sur Ω `a constante additive pr`es.
4. Montrer qu’on peut d´efinir une fonction logarithme surCpriv´e d’une demi-droite issue de 0 quelconque. On appelled´etermination principale, et on note Log, la branche du logarithme d´efinie sur Ω =C\]− ∞; 0] s’annulant au point 1.
a) Calculer Log(reit) en fonction der >0 et t∈]−π;π[. Quelle est la restriction de Log
`
a ]0; +∞[ ?
b) Montrer que la d´etermination principale du logarithme est d´eveloppable en s´erie enti`ere autour de 1 et que Log(1 +z) =P+∞
1
(−1)n+1zn
n .
c) D´eterminer Ω′:= Log(Ω). Dessiner l’image par l’exponentielle du quadrillage en lignes horizontales et verticales de Ω′.
5. Pour z ∈C\]− ∞; 0] et α >0, on posezα := exp (αLogz). Montrer que cette d´efinition co¨ıncide avec celle connue sur ]0; +∞[, et que|zα|=|z|α. V´erifier que sik∈N, z1/kk
=z.
6. Soitf une fonction holomorphe sur un disqueD, qui ne s’annule pas. Montrer quef admet un rel`evement, c’est-`a-dire qu’il existeg holomorphe surD telle quef = exp(g).
7. Montrer qu’il n’existe pas de fonctionf holomorphe surCv´erifiantf◦f = exp. On pourra commencer par montrer qu’une telle fonction admet un rel`evement.
1
Exercice 4. – Lemme de Schwarz
Soit f une fonction holomorphe deD(0,1) dansD(0,1). On suppose quef(0) = 0.
1. Montrer que pour toutz dansD(0,1), |f(z)| ≤ |z|. En d´eduire|f′(0)| ≤1.
2. Montrer que s’il existe z0 6= 0 dans D(0,1) tel que |f(z0)|=|z0|, ou si|f′(0)|= 1, alorsf est une rotation.
Exercice 5. – Points singuliers
Soitf une s´erie enti`ere de rayon de convergence 0< R <∞. Un pointadu cercle de convergence estr´eguliers’il existe une s´erie enti`ere en (z−a) co¨ıncidant avecf pr`es dea. Un point estsingulier s’il n’est pas r´egulier.
1. Montrer que l’ensemble des points r´eguliers forme un ouvert.
2. Montrer quef a au moins un point singulier sur son disque de convergence.
3. D´eterminer les points singuliers deP zn. 4. V´erifier quef(z) =P
z2n a pour rayon de convergence 1. Montrer que
∀k, l∈N, f
te2ikπ/2l −−−→
t→1− +∞.
En d´eduire que les e2ikπ/2l (k, l ∈ N) sont des points singuliers de f, puis que tous les points du cercle de convergence sont singuliers.
Exercice 6. – Calcul d’int´egrales
1. Calculer Z
γ
cosz z dzet
Z
γ
cosz2
z dz, o`u γ est le cercle unit´e.
2. A l’aide de la fonctionz7→ eiz
z , calculer Z +∞
0
sinx x dx.
2
