1. Dans quelle partie de R la fonction f

MPSI B DM 3 29 juin 2019

1. Dans quelle partie de R la fonction f

x 7→ arcsin( 2x 1 + x

) est elle dénie ? dérivable ?

Transformer f (x) en introduisant θ = arctan x . Présenter dans un tableau les dié- rentes expressions de f (x) et les intervalles dans lesquels elles sont valides.

Retrouver le tableau précédent en utilisant la dérivée.

2. a. Dans quel cas un nombre complexe admet-il un argument dans

−

,

? b. Soit a ∈ R et t ∈ ]−1, +1[ . Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de

e

+ t e

− t

Montrer que ce nombre complexe a un argument dans

−

, +

. c. On suppose toujours t ∈ ]−1, +1[ et on pose

M = 1

2 ln 1 + 2t cos a + t

1 − 2t cos a + t

N = arctan 2t sin a 1 − t

Calculer e

pour S = M + iN .

d. Énoncer et prouver un résultat analogue à celui de la question c dans le cas t > 1 . 3. Préciser dans quelles parties de R les fonctions arcsin ◦ cos , arccos ◦ sin , sin ◦ arccos et

cos ◦ arcsin sont dénies. Tracer les graphes de ces fonctions.

4. Soit p et q deux entiers non nuls, trouver une forme simpliée pour

p

X

k=0

p + q k

p + q − k p − k

.

5. Soit n un entier strictement positif, calculer les sommes suivantes

n

X

k=0

sin(kx) cos

x ,

n

X

k=0

n k

sin(kx)

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