MPSI B Énoncé du DM 01 29 juin 2019
Problème
L'objet de cet exercice est d'exprimer cos
2π5avec des racines carrées.
On considère deux équations
1 + z + z
2+ z
3+ z
4= 0 (1)
z
2+ z − 1 = 0 (2)
1. Préciser l'ensemble des solutions de (1). Préciser l'ensemble des solutions de (2).
2. Montrer que u est solution de (1) si et seulement si u +
1uest solution de (2).
3. Préciser sous forme trigonométrique l'ensemble des valeurs prises par u +
u1lorsque u décrit l'ensemble des solutions de (1).
4. En déduire une expression de cos
2π5avec des racines carrées.
Exercices
1. Dans quelle partie de R la fonction f
x 7→ arcsin( 2x 1 + x
2) est elle dénie ? dérivable ?
Transformer f (x) en introduisant θ = arctan x . Présenter dans un tableau les dié- rentes expressions de f (x) et les intervalles dans lesquels elles sont valides.
Retrouver le tableau précédent en utilisant la dérivée.
2. a. Dans quel cas un nombre complexe admet-il un argument dans
−
π2,
π2? b. Soit a ∈ R et t ∈ ]−1, +1[ . Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de
e
−ia+ t e
−ia− t
Montrer que ce nombre complexe a un argument dans
−
π2, +
π2. c. On suppose toujours t ∈ ]−1, +1[ et on pose
M = 1
2 ln 1 + 2t cos a + t
21 − 2t cos a + t
2N = arctan 2t sin a 1 − t
2Calculer e
Spour S = M + iN .
d. Énoncer et prouver un résultat analogue à celui de la question c dans le cas t > 1 .
3. Préciser dans quelles parties de R les fonctions arcsin ◦ cos , arccos ◦ sin , sin ◦ arccos et cos ◦ arcsin sont dénies. Tracer les graphes de ces fonctions.
4. Soit p et q deux entiers non nuls, trouver une forme simpliée pour
p
X
k=0
p + q k
p + q − k p − k
.
5. Soit n un entier strictement positif, calculer les sommes suivantes
n
X
k=0
sin(kx) cos
kx ,
n
X
k=0
n k
sin(kx)
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