1. Dans quelle partie de R la fonction f

(1)

MPSI B Année 2017-2018. DS 2 le 13/10/17 29 juin 2019

Exercices

1. Dans quelle partie de R la fonction f

x 7→ arcsin( 2x 1 + x

²

) est elle dénie ? dérivable ?

Transformer f (x) en introduisant θ = arctan x . Présenter dans un tableau les dié- rentes expressions de f (x) et les intervalles dans lesquels elles sont valides.

Retrouver le tableau précédent en utilisant la dérivée.

2. a. Dans quel cas un nombre complexe admet-il un argument dans

−

^π₂

,

^π₂

? b. Soit a ∈ R et t ∈ ]−1, +1[ . Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de

e

^−ia

+ t e

^−ia

− t

Montrer que ce nombre complexe a un argument dans

−

^π₂

, +

^π₂

. c. On suppose toujours t ∈ ]−1, +1[ et on pose

M = 1

2 ln 1 + 2t cos a + t

²

1 − 2t cos a + t

²

N = arctan 2t sin a 1 − t

²

Calculer e

^S

pour S = M + iN .

d. Énoncer et prouver un résultat analogue à celui de la question c dans le cas t > 1 . 3. Préciser dans quelles parties de R les fonctions arcsin ◦ cos , arccos ◦ sin , sin ◦ arccos et

cos ◦ arcsin sont dénies. Tracer les graphes de ces fonctions.

4. Soit p et q deux entiers non nuls, trouver une forme simpliée pour

p

X

k=0

p + q k

p + q − k p − k

.

5. Soit n un entier strictement positif, calculer les sommes suivantes

n

X

k=0

sin(kx) cos

^k

x ,

n

X

k=0

n k

sin(kx)

Problème

Ce texte étudie certaines fonctions bijectives de Z dans Z

¹

.

On rappelle la notation des intervalles entiers, pour p et q dans Z avec p ≤ q , J p, q K = {k ∈ Z tq p ≤ k ≤ q}

Pour toute fonction F de Z dans Z, on convient que F

⁰

= Id

_Z

et que

∀k ∈ N

^∗

, F

^k

= F ◦ · · · ◦ F

| {z }

kfoisF

, F

^−k

= F

⁻¹

◦ · · · ◦ F

⁻¹

| {z }

kfoisF

avec F

⁻¹

désignant la bijection réciproque de F .

Pour tout a ∈ Z, on appelle orbite de a pour F la partie de Z notée O(a) dénie par : O(a) =

F

^k

(a), k ∈ Z

Partie I.

On se donne une bijection F de Z dans Z. Dans certaines questions, elle pourra vérier des propriétés supplémentaires spéciques.

1. Pour tout b ∈ Z, on dénit T

_b

par

∀x ∈ Z , T

_b

(x) = x + b.

Montrer que T

_b

est bijective. Quelle est sa bijection réciproque ? Préciser les orbites de T

b

. Pour m ∈ Z, que vaut T

_b^m

?

2. On dénit

²

dans Z des relations et ≺ par :

∀(a, b) ∈ Z

²

, a b ⇔ ∃k ∈ N tq b = F

^k

(a)

∀(a, b) ∈ Z

²

, a ≺ b ⇔ a b et a 6= b.

a. Montrer que est réexive et transitive. Donner un exemple de fonction F pour laquelle n'est pas antisymétrique.

b. On dénit une relation ∼ dans Z par :

∀(a, b) ∈ Z

²

, a ∼ b ⇔ a b ou b a.

Montrer que ∼ est une relation d'équivalence. Quelle est la classe d'équivalence d'un entier a pour cette relation ? Que peut-on en déduire ?

c. On suppose que x ≤ F (x) pour tous les entiers x . Montrer que est antisymé- trique.

1D'après The Mathematics of Juggling, B. Polster. Springer

2On prendra bien soin de distinguer à la lecture comme à l'écriture les signes≤et.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S1702E

(2)

MPSI B Année 2017-2018. DS 2 le 13/10/17 29 juin 2019

Partie II.

On considère un entier naturel p ≥ 2 et une bijection σ de I

p

= J 0, p − 1 K dans J 0, p − 1 K.

1. a. En utilisant les notations pythoniques x//p et x%p pour le quotient et le reste de la division d'un entier x par p , dénir l'unique prolongement (noté F

_σ

) de σ dans Z vériant

F

_σ

◦ T

_p

= T

_p

◦ F

_σ

. b. Montrer que F

_σ

est bijective de Z dans Z et que

F

_σ⁻¹

= F

_σ−1

.

Montrer que chaque orbite de F

σ

est nie mais que l'ensemble des orbites est inni.

c. On note f

_σ

= F

_σ

− Id

_Z

. Vérier que f

_σ

est périodique de période p . 2. Exemple. Ici p = 3 , la fonction σ est donnée par le tableau suivant

k 0 1 2

σ(k) 1 2 0 a. Préciser les orbites de F

_σ

et les valeurs prises par f

_σ

.

b. Soit b ∈ Z. Montrer que T

b

◦ F

σ

est bijective. Comment s'exprime sa bijection réciproque ?

3. On considère un autre entier q et une bijection ϕ de I

q

= J 0, q −1 K dans I

q

. La fonction F

ϕ

est dénie comme en 1.a. Montrer que

F

σ

◦ F

ϕ

◦ T

pq

= T

pq

◦ F

σ

◦ F

ϕ

.

En déduire qu'il existe une bijection θ de I

pq

dans lui même telle que F

σ

◦ F

ϕ

= F

θ

. Calculer le tableau des images par θ pour q = 2 et ϕ déni par

k 0 1

ϕ(k) 1 0

Partie III.

Soit h ∈ N avec 2 ≤ h et F une bijection de Z dans Z telle que

∀x ∈ Z , x < F (x) ≤ x + h.

On note f = F − Id

_Z

c'est à dire que

∀x ∈ Z , f(x) = F (x) − x.

1. Dans cette question seulement, on reprend une fonction F

σ

comme en II.1. Montrer qu'il existe b ∈ Z tel que F = T

b

◦ F

σ

vérie la condition du dessus.

2. Soit a ∈ Z, p ∈ N

^∗

et O(a, p) =

F

^k

(a), k ∈ J 0, p − 1 K . Montrer que X

x∈O(a,p)

f (x) = F

^p

(a) − a.

3. Soit O une orbite pour F . a. Montrer que O est innie.

b. Soit I = J u, v K un intervalle entier tel que I ∩ O 6= ∅ . On note a = min(I ∩ O) . Montrer qu'il existe p ∈ N

^∗

tel que

I ∩ O = O(a, p), F

⁻¹

(a) < u, v < F

^p

(a).

c. Montrer que

v − u − h < X

x∈I∩O

f (x) ≤ v − u + h d. On note I

n

= [−n, n] pour n ∈ N

^∗

et

m

n

(O) =



 

  1 2n + 1

X

x∈In∩O

f (x) si I

_n

∩ O 6= ∅

0 sinon.

Former l'encadrement de m

n

(O) tiré de b. On admet qu'il entraîne que la suite (m

n

(O))

_n∈N

converge vers 1 .

4. Soit p ∈ N

^∗

, on suppose que F admet seulement p orbites distinctes. Montrer que la suite

1 2n + 1

n

X

x=−n

f (x)

!

n∈N

converge vers p .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

2

Rémy Nicolai S1702E