MPSI B Énoncé du DM 01 29 juin 2019
Problème 1
Le plan complexe P est rapporté à un repère direct (O, − → u , − → u ) .
Les nombres complexes z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 que l'on va calculer seront tous exprimés sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.
1. (Question de cours) Démontrer l'expression algébrique de j = e i
2π3j = − 1 2 + i
√ 3 2
2. Résoudre l'équation
z 2 − √
3z + 1 = 0
Soit z 1 la solution de partie imaginaire positive et z 2 l'autre. Exprimer z 1 et z 2 sous forme algébrique et trigonométrique. Placer les points M 1 et M 2 d'axes z 1 et z 2 . 3. Soit M 3 l'image de M 2 par la rotation de centre O et d'angle 2π 3 . Placer M 3 sur la
même gure et calculer son axe notée z 3 .
4. Soit M 4 l'image de M 2 par la translation de vecteur − → w dont l'axe est
−
√ 3 + i 2
Placer le point M 4 sur la même gure et calculer son axe z 4 . 5. Soit
z 5 = i
2 (1 + i √
3) z 6 = 2
i − √ 3
Exprimer z 5 et z 6 sous forme algébrique et exponentielle. Placer les points M 5 et M 6
d'axes z 5 et z 6 sur la gure.
6. Développer
(z − z 1 )(z − z 2 )(z − z 3 )(z − z 4 )(z − z 5 )(z − z 6 )
en regroupant d'abord les z k conjugués. Développer encore pour obtenir une expression très simple. Quel est l'ensemble
{z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 }?
Problème 2
1. Dans quelle partie de R la fonction f
x 7→ arcsin( 2x 1 + x 2 ) est elle dénie ? dérivable ?
Transformer f (x) en introduisant θ = arctan x . Présenter dans un tableau les dié- rentes expressions de f (x) et les intervalles dans lesquels elles sont valides.
Retrouver le tableau précédent en utilisant la dérivée.
2. a. Dans quel cas un nombre complexe admet-il un argument dans
− π 2 , π 2
? b. Soit a ∈ R et t ∈ ]−1, +1[ . Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de
e −ia + t e −ia − t
Montrer que ce nombre complexe a un argument dans
− π 2 , + π 2 . c. On suppose toujours t ∈ ]−1, +1[ et on pose
M = 1
2 ln 1 + 2t cos a + t 2
1 − 2t cos a + t 2 N = arctan 2t sin a 1 − t 2 Calculer e S pour S = M + iN .
d. Énoncer et prouver un résultat analogue à celui de la question c dans le cas t > 1 . 3. Préciser dans quelles parties de R les fonctions arcsin ◦ cos , arccos ◦ sin , sin ◦ arccos et
cos ◦ arcsin sont dénies. Tracer les graphes de ces fonctions.
4. Soit p et q deux entiers non nuls, trouver une forme simpliée pour
p
X
k=0
p + q k
p + q − k p − k
.
5. Soit n un entier strictement positif, calculer les sommes suivantes
n
X
k=0
sin(kx) cos k x ,
n
X
k=0
n k
sin(kx)
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