MPSI B Ann´ ee 2013-2014 ´ Enonc´ e DM 1 pour le 13/09/13 4 septembre 2013
Probl` eme1
Le plan complexe P est rapport´ e ` a un rep` ere direct (O, − → u , − → u ).
Les nombres complexes z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 que l’on va calculer seront tous exprim´ es sous forme alg´ ebrique et sous forme trigonom´ etrique.
1. (Question de cours) D´ emontrer l’expression alg´ ebrique de j = e i
2π3j = − 1
2 + i
√ 3 2 2. R´ esoudre l’´ equation
z 2 − √
3z + 1 = 0
Soit z 1 la solution de partie imaginaire positive et z 2 l’autre. Exprimer z 1 et z 2 sous forme alg´ ebrique et trigonom´ etrique. Placer les points M 1 et M 2 d’affixes z 1 et z 2 . 3. Soit M 3 l’image de M 2 par la rotation de centre O et d’angle 2π 3 . Placer M 3 sur la
mˆ eme figure et calculer son affixe not´ ee z 3 .
4. Soit M 4 l’image de M 2 par la translation de vecteur − → w dont l’affixe est
−
√ 3 + i 2
Placer le point M 4 sur la mˆ eme figure et calculer son affixe z 4 . 5. Soit
z 5 = i
2 (1 + i √
3) z 6 = 2
i − √ 3
Exprimer z 5 et z 6 sous forme alg´ ebrique et exponentielle. Placer les points M 5 et M 6
d’affixes z 5 et z 6 sur la figure.
6. D´ evelopper
(z − z 1 )(z − z 2 )(z − z 3 )(z − z 4 )(z − z 5 )(z − z 6 )
en regroupant d’abord les z k conjugu´ es. D´ evelopper encore pour obtenir une expression tr` es simple. Quel est l’ensemble
{z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 }?
Exercices
Exercice 1 D´ emontrer que
n 1
1 1 −
n 2
1
2 + · · · + (−1) n−1 n
n 1
n = 1 + 1 2 + 1
3 + · · · + 1 n
Exercice 2
Soit n un entier naturel non nul, calculer P
(i,j)∈T ij avec T = n
(i, j) ∈ {1, . . . , n} 2 tq i ≤ j o Exercice 3
Soit n un entier naturel non nul, calculer R 2 n + I n 2 avec
R n =
E(
n2)
X
k=0
(−1) k n
2k
I n =
E(
n−12)
X
k=0
(−1) k n
2k + 1
Exercice 4
Soit n un entier naturel non nul, a 1 , a 2 , · · · , a n des r´ eels strictement positifs, montrer (a 1 + a 2 + · · · + a n )( 1
a 1 + 1
a 2 + · · · + 1 a n ) ≥ n 2 Exercice 5
Soit n un entier naturel non nul, calculer n
0
− 3 n
2
+ 3 2 n
4
− 3 3 n
6
+ · · ·
Exercice 6
1. D´ evelopper (z − a)(z − b)(z − c).
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
Paternit´e-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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R´emy Nicolai M1301MPSI B Ann´ ee 2013-2014 ´ Enonc´ e DM 1 pour le 13/09/13 4 septembre 2013
2. On pose w = e 2iπ/7 , en consid´ erant
w + w 6 , w 2 + w 5 , w 3 + w 4
former une ´ equation de degr´ e 3 dont cos(2π/7), cos(4π/7), cos(6π/7) sont les racines.
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
Paternit´e-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
