PETITS CALCUL ALGEBRIQUE SUR LES COMPLEXES.
1 Sommes et produits dans IC Soit les nombres complexes z = 4 – 2 i et z' = –2 – 5 i.
Mettre les nombres complexes suivants sous la forme algébrique a + b i:
a) z + z' b) 2 z – 4 z'; c)z × z' d) z'2; e) z3 f) (– 2 – z) (3 – 4 z').
Solutions
a) 2 – 7 i b) 16 + 16 i c) – 18 – 16 i d) – 21 + 20 i e) 16 – 88 i f) – 106 – 98 i
2 Inverses et quotients dans IC Mettre sous la forme algébrique a + b i les nombres complexes suivants:
a) 1
1 – i b) – i + 1
2 i c) 1 – 3 i
2 + i d)
1 – 3 i 2 + i
2 e) 1 – i 3
3 – i Solutions
1
1 – i = 1 + i 1 + 1 = 1
2 + 1
2 i – i + 1
2 i = – i + i
2 i2 = – i – 1 2 i = – 3
2 i 1 – 3 i
2 + i = (1 – 3 i) (2 – i)
4 + 1 = 2 – i – 6 i – 3 5 = – 1
5 – 7 5 i
1 – 3 i
2 + i 2
= – 1
5 – 7 5 i
2 = 1
25 + 14 25 i – 49
25 = – 48 25 + 14
25 i 1 – i 3
3 – i
= (1 – i 3) ( 3 + i)
3 + 1 = 3 + i – 3 i + 3
4 = 3
2 – 1 2 i
3 Inverses et quotients dans IC Soit les nombres complexes z = 2 – 5 i et z' =– 1 – 2 i.
Mettre les nombres complexes suivants sous la forme algébrique a + b i:
a) 1
z b) -– 2
z' c) z
z' d)1 + z
1 – z' Solutions
1 z = 1
2 – 5 i = 2 + 5 i 4 + 25 = 2
29 + 5 29 i – 2
z' = – 2
– 1 – 2 i = 2
1 + 2 i = 2 (1 – 2 i) 1 + 4 = 2
5 – 4 5 i z
z' = 2 – 5 i
– 1 – 2 i = – 2 – 5 i
1 + 2 i = – (2 – 5 i) (1 – 2 i)
1 + 4 = – 2 – 4 i – 5 i – 10
5 = 8
5 + 9 5 i 1 + z
1 – z' = 1 + 2 – 5 i
1 + 1 + 2 i = 3 – 5 i
2 + 2 i = (3 – 5 i) (2 – 2 i)
4 + 4 = 6 – 6 i – 10 i – 10
8 = – 1
2 – 2 i
2 Valeurs prises par un polynôme P(z) est le polynôme défini pour tout nombre complexe z par : P(z)=2 z2 +3 (– 1 +i) z – 3 – i.
l° Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants:
a) P(0) b) P(1) c) P(i) d) P(1 – 2 i) > e) P(– 1 – 2 i) f) P(2 – i ).
2° Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de P(x + i y) où x et y sont des nombres réels.
Solutions
1° a) – 3 – i b) – 4 + 2 i c) – 8 – 4 i d) – 6 > e) 10 i f) 0
2° P(x + i y) = 2 (x + i y)2 + 3 (– 1 + i) z – 3 – i = 2 (x2 + 2 i x y – y2) + 3 (– x – i y + i x – y) – 3 – i = 2 x2 + 4 i x y – 2 y2 – 3 x – 3 i y + 3 i x – 3 y – 3 – i = 2 x2 – 2 y2 – 3 x – 3 y – 3 + i (4 x y – 3 y + 3 x – 1).
Re(P(x + i y) = 2 x2 – 3 x – 2 y2 – 3 y – 3 Im (P(x + i y) = 4 x y + 3 x – 3 y – 1
5 Résoudre dans IC les équations suivantes (L'inconnue est notée z ou r )
a) z2 = – 16; b) z2 = – 3 c)z2 = 5 d) (z + 1)2 + 7 = 0
Solutions
a) S = { 4 i ; – 4 i }
b) S = { – i 3 ; i 3 } c)S = { 5 ; – 5 } d) S = – 1 + i 7 , – 1 – i 7
