Les nombres complexes z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 que l'on va calculer seront tous exprimés sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.

(1)

MPSI B Année 2013-2014 Énoncé DM 1 pour le 13/09/13 29 juin 2019

Problème1

Le plan complexe P est rapporté à un repère direct (O, − → u , − → u ) .

Les nombres complexes z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 que l'on va calculer seront tous exprimés sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.

1. (Question de cours) Démontrer l'expression algébrique de j = e ⁱ

^2π³

j = − 1 2 + i

√ 3 2 2. Résoudre l'équation

z ² − √

3z + 1 = 0

Soit z ₁ la solution de partie imaginaire positive et z ₂ l'autre. Exprimer z ₁ et z ₂ sous forme algébrique et trigonométrique. Placer les points M ₁ et M ₂ d'axes z ₁ et z ₂ . 3. Soit M 3 l'image de M 2 par la rotation de centre O et d'angle ^2π ₃ . Placer M 3 sur la

même gure et calculer son axe notée z 3 .

4. Soit M 4 l'image de M 2 par la translation de vecteur − → w dont l'axe est

−

√ 3 + i

2 Placer le point M ₄ sur la même gure et calculer son axe z ₄ . 5. Soit

z 5 = i

2 (1 + i √

3) z 6 = 2

i − √ 3

Exprimer z 5 et z 6 sous forme algébrique et exponentielle. Placer les points M 5 et M 6

d'axes z 5 et z 6 sur la gure.

6. Développer

(z − z ₁ )(z − z ₂ )(z − z ₃ )(z − z ₄ )(z − z ₅ )(z − z ₆ )

en regroupant d'abord les z _k conjugués. Développer encore pour obtenir une expression très simple. Quel est l'ensemble

{z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 }?

Exercices

1. Démontrer que n 1

1 1 −

n 2

1 2 + · · · + (−1) ⁿ⁻¹ n

n 1

n = 1 + 1 2 + 1

3 + · · · + 1 n 2. Soit n un entier naturel non nul, calculer P

(i,j)∈T ij avec T = n

(i, j) ∈ {1, . . . , n} ² tq i ≤ j o 3. Soit n un entier naturel non nul, calculer R ² _n + I _n ² avec

R n =

b

ⁿ₂

c

X

k=0

(−1) ^k n

2k

I n =

b

ⁿ⁻¹₂

c

X

k=0

(−1) ^k n

2k + 1

4. Soit n un entier naturel non nul, a ₁ , a ₂ , · · · , a _n des réels strictement positifs, montrer (a ₁ + a ₂ + · · · + a _n )( 1

a 1

+ 1 a 2

+ · · · + 1 a n

) ≥ n ²

5. Soit n un entier naturel non nul, calculer n

0 − 3 n

2 + 3 ² n

4 − 3 ³ n

6 + · · ·

6. a. Développer (z − a)(z − b)(z − c) . b. Avec w = e ^2iπ/7 , on considère

a = w + w ⁶ , b = w ² + w ⁵ , c = w ³ + w ⁴ .

Exprimer les coecients du développement de la question a en fonction de puis- sances de w seulement en les simpliant à l'aide de relations vériées par w . En déduire une équation de degré 3 à coecients entiers dont cos ^2π ₇ , cos ^4π ₇ , cos ^6π ₇ sont les racines.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai M1301E

Les nombres complexes z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 que l'on va calculer seront tous exprimés sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.

MPSI B Année 2013-2014 Énoncé DM 1 pour le 13/09/13 29 juin 2019

Problème1

Le plan complexe P est rapporté à un repère direct (O, − → u , − → u ) .

Les nombres complexes z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 que l'on va calculer seront tous exprimés sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.

1. (Question de cours) Démontrer l'expression algébrique de j = e i

j = − 1 2 + i

√ 3 2 2. Résoudre l'équation

z 2 − √

3z + 1 = 0

Soit z 1 la solution de partie imaginaire positive et z 2 l'autre. Exprimer z 1 et z 2 sous forme algébrique et trigonométrique. Placer les points M 1 et M 2 d'axes z 1 et z 2 . 3. Soit M 3 l'image de M 2 par la rotation de centre O et d'angle 2π 3 . Placer M 3 sur la

même gure et calculer son axe notée z 3 .

4. Soit M 4 l'image de M 2 par la translation de vecteur − → w dont l'axe est

−

√ 3 + i

2

Placer le point M 4 sur la même gure et calculer son axe z 4 . 5. Soit

z 5 = i

2 (1 + i √

3) z 6 = 2

i − √ 3

Exprimer z 5 et z 6 sous forme algébrique et exponentielle. Placer les points M 5 et M 6

d'axes z 5 et z 6 sur la gure.

6. Développer

(z − z 1 )(z − z 2 )(z − z 3 )(z − z 4 )(z − z 5 )(z − z 6 )

en regroupant d'abord les z k conjugués. Développer encore pour obtenir une expression très simple. Quel est l'ensemble

{z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 }?

Exercices

1. Démontrer que n 1

1 1 −

n 2

1

2 + · · · + (−1) n−1 n

n 1

n = 1 + 1 2 + 1

3 + · · · + 1 n 2. Soit n un entier naturel non nul, calculer P

(i,j)∈T ij avec T = n

(i, j) ∈ {1, . . . , n} 2 tq i ≤ j o 3. Soit n un entier naturel non nul, calculer R 2 n + I n 2 avec

R n =

b

c

X

k=0

(−1) k n

2k

I n =

b

c

X

k=0

(−1) k n

2k + 1

4. Soit n un entier naturel non nul, a 1 , a 2 , · · · , a n des réels strictement positifs, montrer (a 1 + a 2 + · · · + a n )( 1

a 1

+ 1 a 2

+ · · · + 1 a n

) ≥ n 2

5. Soit n un entier naturel non nul, calculer n

0

− 3 n

2

+ 3 2 n

4

− 3 3 n

6

+ · · ·

6. a. Développer (z − a)(z − b)(z − c) . b. Avec w = e 2iπ/7 , on considère

a = w + w 6 , b = w 2 + w 5 , c = w 3 + w 4 .

Exprimer les coecients du développement de la question a en fonction de puis- sances de w seulement en les simpliant à l'aide de relations vériées par w . En déduire une équation de degré 3 à coecients entiers dont cos 2π 7 , cos 4π 7 , cos 6π 7 sont les racines.

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1. (Question de cours) Démontrer l'expression algébrique de j = e ⁱ

z ² − √

Soit z ₁ la solution de partie imaginaire positive et z ₂ l'autre. Exprimer z ₁ et z ₂ sous forme algébrique et trigonométrique. Placer les points M ₁ et M ₂ d'axes z ₁ et z ₂ . 3. Soit M 3 l'image de M 2 par la rotation de centre O et d'angle ^2π ₃ . Placer M 3 sur la

Placer le point M ₄ sur la même gure et calculer son axe z ₄ . 5. Soit

(z − z ₁ )(z − z ₂ )(z − z ₃ )(z − z ₄ )(z − z ₅ )(z − z ₆ )

en regroupant d'abord les z _k conjugués. Développer encore pour obtenir une expression très simple. Quel est l'ensemble

2 + · · · + (−1) ⁿ⁻¹ n

(i, j) ∈ {1, . . . , n} ² tq i ≤ j o 3. Soit n un entier naturel non nul, calculer R ² _n + I _n ² avec

(−1) ^k n

(−1) ^k n

4. Soit n un entier naturel non nul, a ₁ , a ₂ , · · · , a _n des réels strictement positifs, montrer (a ₁ + a ₂ + · · · + a _n )( 1

) ≥ n ²

+ 3 ² n

− 3 ³ n

6. a. Développer (z − a)(z − b)(z − c) . b. Avec w = e ^2iπ/7 , on considère

a = w + w ⁶ , b = w ² + w ⁵ , c = w ³ + w ⁴ .

Exprimer les coecients du développement de la question a en fonction de puis- sances de w seulement en les simpliant à l'aide de relations vériées par w . En déduire une équation de degré 3 à coecients entiers dont cos ^2π ₇ , cos ^4π ₇ , cos ^6π ₇ sont les racines.