√ 3 et z ' = i + √ 3 . 1) Donner la forme exponentielle de z et z '.

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SERIE D'EXERCICES 4^èmeMaths

EXERCICE n° 1

On donne les nombres complexes: z = -1 + i

√ ³

et z ' = i +

√ ³

. 1) Donner la forme exponentielle de z et z '.

2) En déduire celle de chacun des nombres Z = z z ' et Z ' = z² z '³ . 3) En déduire que

Z Z' _{= 8.}

EXERCICE n° 2

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( O,

⃗ u, ⃗ v

), on désigne par A et N les points d'affixes respectives 1 et e^2iθ où θ est un réel de ] 0,π

2 _[.

1) Déterminer l'ensemble des points N lorsque θ décrit ] 0,π 2 _[.

2) Calculer l'affixe du point M tels que OAMN soit un losange.

3) Déterminer θ pour que l'aire du losange OAMN soit égale à 1 2 _. EXERCICE n° 3

Soit θ _{un réel.}

1/ Etablir que: 1+e^iθ=2cos(θ 2)eⁱ

θ 2

et e^iθ−1=2isin(θ 2)eⁱ

θ 2

. 2/ Soit z=cos(2π

5 )+isin(2π 5 ).

Déterminer la forme exponentielle de : ^1+z et ^1−z . 3/ Montrer que, pour tout

θ≠π +2 kπ ,

k∈Z _,

e^iθ−1

e^iθ+1 est imaginaire.

4/ Déterminer les valeurs de θ _{de [}

−π ,2 π

] pour que

e^iθ−1

e^iθ+1 = ⁱ . EXERCICE n° 4

Le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( O,

⃗ u,⃗ v

). On désigne par A et B les points d'affixes respectives 1 et i et (C) le cercle de centre O et de rayon 1.

Soit l'application F qui à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' tel que: ^z' = z−i

z^¿ _. 1/ Montrer que F n'admet pas de point invariant.

2/ Déterminer l'ensemble des antécédents par F du point A.

3/ a- Monter que pour tout point M de P\{O, B}, on a :

(⃗ OM , ⃗ OM ' )≡( ⃗ u, ⃗ BM )

(2π) _. b- En déduire l'ensemble des points M pour les qules les points O, M et M' sont alignés.

4/ a- Montrer que pour tout point M de P\{O}, les vecteurs

⃗ AM '

_et

⃗ OM

sont orthogonaux.

b- En déduire une construction du point M' à partir d'un point M donné n'appartenant pas à (OB) _. Effectuer la construction en prenant z_M=1+i(1+

√

³⁾ _.

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