T8 DS 2 : 13 octobre 2017 Dur´ee 115 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Nom et pr´enom :
Exercice 1 : Un classique (20 minutes) (51/2 points)
1. Donner sans calcul interm´ediaire la forme alg´ebrique de (2 +i)(3 + 2i).
2. R´esoudre dansCles ´equations suivantes :
(a) 3z+ 2i−z¯= 0 (b) z2+z+ 1 = 0
3. SoientA(1 +i) et B(1−i) deux points dans le plan complexe muni du rep`ere orthonorm´e (O;~u;~v).
(a) Placer ces points dans un rep`ere.
(b) Montrer queOAB est isoc`ele.
(c) Montrer queOAB est rectangle en O
~ u
~u
~ v
O
4. D´eterminer les limites suivantes : (a) lim
x→+∞cos
πx+ 3 3x−1
(b) lim
x→+∞
cos(x) + 3 x−1 .
Exercice 2 : Probl`eme complexe (40 minutes) (51/2 points) On muni le plan complexe du rep`ere orthonorm´e direct (O;~u;~v).
On d´efinit une fonction f deC \ {i} dansC par : f(z) = z−1 z−i. 1. (a) D´eterminer la forme alg´ebrique de l’image de 2 + 2iparf
(b) Montrer que le point d’affixef(2 +i) appartient au cercle de centreO et de rayon
√ 2 2 . 2. D´emontrer que 1 n’a aucun ant´ec´edent parf.
3. On posez=x+iy (o`ux ety sont des r´eels). V´erifier qu’on a alors : f(z) = x2+y2−x−y+i(x+y−1) x2+ (y−1)2 .
4. D´eterminer l’ensemble des points M d’affixe z =x+iy du plan tels quef(z) est nombre imaginaire pur.
5. D´eterminer l’ensemble des points M d’affixe z=x+iy du plan tels que f(z) est un nombre r´eel.
T8 DS 2 Page 2 de 2 Exercice 3 : Probl`eme : ´Etude d’une fonction (35 minutes) (61/2 points)
Partie A
Soit g une fonction d´efinie surRparg(x) =−x3+ 27x+ 56.
1. D´eterminer les limites en−∞ de g. Donner sans d´emonstration les limites deg en +∞.
2. Dresser le tableau de variations complet deg.
3. D´emontrer que l’´equation g(x) = 0 a une unique solution α dansR.
4. (a) Montrer que 6< α <7.
(b) D´eterminer un encadrement deα `a 10−2 pr`es.
5. En d´eduire (en justifiant) le tableau de signes de g(x). Celui-ci pourra comporter le nombreα.
Partie B
Soit f la fonction d´efinie sur Df =]0; 3[∪]3; +∞[ parf(x) = −x3−28 x2−9 .
1. (a) D´eterminer la limite def en 3 `a gauche (on admettra la limite `a droite).
(b) Quelle interpr´etation graphique peut-on en d´eduire ? 2. D´eterminer la limite def en +∞.
3. D´emontrer que pour toutx∈Df :f0(x) = xg(x) (x2−9)2.
4. Dresser le tableau de variations complet def sur D. Celui-ci pourra comporter le nombre α 5. Montrer quef(α) = 27α+ 28
α2−9
Exercice 4 : Prise d’initiative (3 points)
On consid`ere la suite (zn) de nombres complexes d´efinie pour tout entier naturelnpar : ( z0 = 0
zn+1 = 1
2i×zn+ 5
Dans le plan rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e, on note Mnle point d’affixe zn. On consid`ere le nombre complexe zA= 4 + 2i et A le point du plan d’affixezA.
1. Soit (un) la suite d´efinie pour tout entier natureln parun=zn−zA . (a) Montrer que, pour tout entier natureln, un+1= 1
2i×un. (b) D´emontrer que, pour tout entier natureln :
un= 1
2i n
(−4−2i).
2. D´emontrer que, pour tout entier natureln, les points A,Mn etMn+4 sont align´es.
