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Exercice 1 : (2 points) n est un entier naturel.

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Academic year: 2022

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(1)

  1   T°S7

DTL DE MATHEMATIQUES N°1 24/09/2013

Durée : 3h

Calculatrices autorisées

Exercice 1 : (2 points) n est un entier naturel.

a) Résoudre : 3n

2

− n > 100 .

b) Déterminer l’entier n

0

à partir duquel 3n

2

− n >100 . c) A est un réel strictement positif. Résoudre : 3n

2

− n > A .

d) Soit la suite u définie sur N par u

n

= 3n

2

− n . A est un réel strictement positif. Déterminer l’entier naturel n

0

à partir duquel 3n

2

− n > A .

e) En déduire la limite de la suite ( ) u

n

. Exercice 2 : (2 points)

Soit u

n

= 2 + 1

n

2

pour n ≥ 1.

a) Pour quelles valeurs de n a-t-on u

n

∈ ] 1, 9;2,1 [ ?

b) Soit ε un réel strictement positif. Pour quelles valeurs de n a-t-on u

n

∈ ] 2 − ε ;2 + ε [ ?

c) En déduire la limite de la suite ( ) u

n

. Exercice 3 : (4 points)

En utilisant les propriétés du cours(comparaison, opérations), déterminer la limite éventuelle de la suite u dans les cas suivants :

a) u

n

= cos n − n b) u

n

= 3n +1+ (−1)

n

c) u

n

= −4n

2

+ 3

n + 6 d) u

n

= sin n + 2n

n

2

+ 2 Exercice 4 : (2 points)

Démontrer par récurrence, que pour tout entier naturel n, n

3

− n est divisible par 3.

Exercice 5 : (2 points)

On considère la suite (u

n

) définie sur N par u

0

= 0

u

n+1

= u

n

+ 2

!

"

#

$#

Démontrer par récurrence, que pour tout entier naturel n,

0 ≤ u

n

≤ 2.

(2)

  2   Exercice 6 : (3 points)

On considère la suite (u

n

) définie sur N par u

0

= 0

u

n+1

= 2u

n

+ 3 u

n

+ 4

!

"

#

$ #

1. On pose, pour tout entier naturel n, v

n

= u

n

−1 u

n

+ 3

Montrer que la suite (v

n

) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.

2. Exprimer alors (v

n

) puis (u

n

) en fonction de n.

3. Déterminer la limite de (v

n

) , puis en déduire celle de (u

n

) .

Exercice 5 : (5 points)

On considère les suites u et v définies pour tout entier naturel n par : u

0

= 0

u

n+1

= 3u

n

+1 4

!

"

#

$ #

et

v

0

= 2 v

n+1

= 3v

n

+1

4

!

"

#

$ #

.

1. Calculer u

1

, u

2

,u

3

d’une part, v

1

, v

2

, v

3

d’autre part.

2. Dans un repère orthonormal, on a tracé D et Δ, les représentations graphiques respectives de la droite d’équation y = x , et de la droite d’équation y = 3x +1

4 . (voir annexe)

Utiliser D et Δ pour faire apparaître sur l’axe des abscisses les valeurs u

1

, u

2

, u

3

d’une part, v

1

, v

2

, v

3

d’autre part.

3. On considère la suite s définie pour tout entier naturel n par s

n

= u

n

+ v

n

.

a) Calculer s

0

, s

1

, s

2

, s

3

. A partir de ces résultats, que peut-on conjecturer pour la suite s ? b) A l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que la suite s est une suite

constante.

4. On considère la suite d définie pour tout entier naturel n par d

n

= u

n

− v

n

. a) Montrer que la suite d est une suite géométrique.

b) Donner l’expression de d

n

en fonction de n.

5. En utilisant les résultats des questions 3b et 4b, déterminer l’expression de u

n

et v

n

en fonction de n.

6. Montrer que les suites u et v convergent. Préciser leurs limites.

(3)

  3  

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