Soit n un entier naturel non nul et x un réel strictement positif

D’APRES BAC C 1992.

CORRECTION 1.

a. fn(x) xⁿ x^{n 1}xln(x).

lim

x 0

xⁿ 0 ; lim

x 0

xln(x) 0 d après le cours Si x 2 : lim

x 0

x^{n 1} 0 donc lim

x 0

fn(x) 0 par produit Si x 1 : fn(x) x xln(x) donc lim

x 0

fn(x) 0 par produit Ainsi, pour tout n de *, lim

x 0

fn(x) 0. Or fn(0) 0 donc la fonction fn est continue en 0.

b. lim

x

xⁿ et lim

x

1 ln(x) donc lim

x

fn(x) . 2.

a. Soit n un entier naturel non nul et x un réel strictement positif.

fn 1(x) fn(x) x^{n 1}(1 ln(x)) xⁿ(1 ln(x)) xⁿ(1−ln(x))(x−1).

1 ln(x) 0 ln(x) 1 x e et x 1 0 x 1.

On a donc le tableau ci-dessous :

x 0 1 e +

xⁿ + + +

1 ln(x)

x 1 + +

f_{n 1}(x) f_n(x) +

fn 1(x) fn(x) s annule pour x 0 ; x 1 et x e.

b. La courbe (^{Cn 1}) est en dessous de la courbe ( )^Cn sur ]0 1[ et sur ]e [.

La courbe (^{Cn 1}) est au dessus de la courbe ( )^{Cn sur ]1 e[.}

Toutes les courbes ( )^Cn passent par les points d abscisses 0 ; 1 et e.

Pour tout n de *, f_n(0) 0 ; f_n(1) 1 et f_n(e) 0.

Toutes les courbes ( )^Cn passent par les points O(0 0) ; A(1 1 ) et B(e 0).

3.

a. fn est dérivable sur ]0 [.

fn (x) nx^{n 1}(1 ln(x)) xⁿ





−1

x nxⁿ⁻¹(1−ln(x))−xⁿ⁻¹ xⁿ⁻¹(n−nln(x) 1).

n nln(x) 1 0 n 1 nln(x) n 1

n ln(x) e

n 1

n x.

On a donc le tableau de variation ci-dessous : x 0 e

n 1

n +

x^{n 1} + +

n nln(x) 1 +

fn (x) +

fn(x) e^{n 1}

n

0 fn(^enn1) (^enn1)ⁿ(^{1 ln(enn1)}) ^{en 1}_^{1 n}_n¹_^{ en 1}

n b. Soit n un entier, avec n 1.

Une équation de la tangente à ( )^Cn au point d abscisse 1 a pour équation y fn (1)(x 1) fn(1), c'est-à-dire y (n 1)(x 1) 1 ou y (n 1)x 2 n.

De même, une équation de la tangente à ( )^Cn au point d abscisse e a pour équation y e^{n 1}(x e) 4. Soit a un réel positif différent de 0 et de e.

M(^{a fn(a}) , c'est-à-dire M) (^{a an(1 ln(a})) et M a a) ^{n 1}(1 ln(a))

(OM ) a pour équation y aⁿ(1 ln(a))x

La droite passant par M et parallèle à l axe des abscisses a pour équation y aⁿ(1 ln(a)).

La droite passant par M et parallèle à l’axe des abscisses et la droite d’équation x 1 se coupent en I(^{1 an(1 ln(a)) .} )

aⁿ(1 ln(a)) 1 aⁿ(1 ln(a)) donc les coordonnées de I vérifient l équation de la droite (OM ).

Les trois droites sont donc concourantes en I.