Soit n un entier naturel non nul et k un entier relatif. On pose P =

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Soit n un entier naturel non nul et k un entier relatif. On pose P =

E(

)

X

p=0

(−1) ^p n

2p

X ^p

x k = (2k − 1)π 2n

1. Soit x un nombre réel qui n'est pas congru à ^π ₂ modulo π , montrer que cos nx = cos ⁿ x e P (tan ² x)

2. Montrer que

tan ² x k , k ∈ Z = n

tan ² x k , k ∈ n

1, 2, · · · , E( n 2 ) oo 3. Déterminer l'ensemble des racines de P .

4. Soit m un entier naturel non nul, exprimer les sommes et produits suivants en fonction de m

m

X

k=1

tan ² (2k − 1)π 4m

m

Y

k=1

tan ² (2k − 1)π 4m

m

X

k=1

tan ² (2k − 1)π 4m + 2

m

Y

k=1

tan ² (2k − 1)π 4m + 2

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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