MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
Soit n un entier naturel non nul et k un entier relatif. On pose P =
E(
n2)
X
p=0
(−1) p n
2p
X p
x k = (2k − 1)π 2n
1. Soit x un nombre réel qui n'est pas congru à π 2 modulo π , montrer que cos nx = cos n x e P (tan 2 x)
2. Montrer que
tan 2 x k , k ∈ Z = n
tan 2 x k , k ∈ n
1, 2, · · · , E( n 2 ) oo 3. Déterminer l'ensemble des racines de P .
4. Soit m un entier naturel non nul, exprimer les sommes et produits suivants en fonction de m
m
X
k=1
tan 2 (2k − 1)π 4m
m
Y
k=1
tan 2 (2k − 1)π 4m
m
X
k=1
tan 2 (2k − 1)π 4m + 2
m
Y
k=1
tan 2 (2k − 1)π 4m + 2
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/