EXERCICE 2 (5 points) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité Dans cet exercice, n est un entier naturel non nul. On considère la suite (u

TS INTEGRALES feuille 58

EXERCICE 2 (5 points) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans cet exercice, n est un entier naturel non nul.

On considère la suite (u_n) définie par :

u_n = ^{2 3} 2

0 2 t

t e dt

t

 n



1.a) Soit  la fonction définie sur [0;2] par :

( )t t

 t 

 2 3

2 Étudier les variations de  sur [0;2].

En déduire que, pour tout réel t dans [0;2], 3 2

7

( )t  4

b) Montrer que, pour tout réel t dans [0;2],on a : 3

2

7

e t e 4e

t n

t n

t

( )  n

c) Par intégration en déduire que : 3

2 1 7

4 1

2 2

n e( ⁿ  ) u_n  n e( ⁿ  )

d) On rappelle que ^lim h

e h

h



 0

1 = 1.

Montrer que, si (u_n) possède une limite L, alors 3 7

 L 2.

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2.a) Vérifier que, pour tout t dans [0;2], on a ^{2 3}

2 2 1

2 t

t t



  

 En déduire l'intégrale I = ^{2 3}

2

0 2 t

t  dt



b) Montrer que, pour tout t dans [0, 2], on a 1

2

e e

t

n n

. En déduire que Iu_n e Iⁿ

2

.

c) Montrer que (u_n) est convergente et déterminer sa limite L.

christophe navarri www.maths-paris.com