EXERCICE 2 (5 points ) (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

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EXERCICE 2 (5 points )

(Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct(O,−→u ,→−v).

On place dans ce repère les pointsA d’affixe 1, B d’affixe b où b est un nombre complexe dont la partie imaginaire est strictement positive.

On construit à l’extérieur du triangleOAB, les carrés directODCAetOBEF comme indiqué sur la figure ci-dessous.

−

→u

−

→v

B

A

D C O

E

F

G

1. Déterminer les affixescetddes pointsC etD.

2. On noterla rotation de centreO et d’angle+π 2. a.Déterminer l’écriture complexe der.

b.En déduire que l’affixef du pointF estib.

c.Déterminer l’affixeedu pointE.

3. On appelleGle point tel que le quadrilatèreOF GD soit un parallélogramme.

Démontrer que l’affixegdu pointGest égal ài(b−1).

4. Démontrer que e−g

c−g =iet en déduire que le triangleEGC est rectangle et isocèle.

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EXERCICE 2

1) Les pointsCet Dsont les points de coordonnées respectives(1,−1)et(0,−1)et doncc=1−iet d=−i.

2) a)L’écriture complexe der estz^!−0=e^iπ/2(z−0)ou encorez^!=iz.

b)Puisque le quadrilatèreOBEFest un carré direct,F=r(B)et doncf=ib.

c)Le carréOBEF est en particulier un parallélogramme et donc−→ OE=−→

OB+−→

OFpuise=b+f=b+ib= (1+i)b.

e= (1+i)b.

3)De même,−−→ OG=−→

OF+−−→

ODet doncg=f+d=ib−i=i(b−1).

g=i(b−1).

4) e−g

c−g = (1+i)b−i(b−1)

1−i−i(b−1) = b+i

1−ib = i(1−ib) 1−ib =i.

e−g c−g=i.

1ère solution.On en déduit queGE=|e−g|=|i(c−g)|=|i|×|c−g|=1×GC=GCet donc le triangleEGCest isocèle enG. On en déduit aussi que!−GC,→ −GE→"

=arg

#e−g c−g

$

=arg(i) = π

2 [2π]et donc le triangleEGCest rectangle enG.

2ème solution.L’égalité e−g

c−g =is’écrit encore e−g=e^iπ/2(c−g)et signifie que le pointE est l’image du pointC par la rotation de centreGet d’angle π

2. Ceci démontre de nouveau que le triangleEGCest rectangle en G.

Le triangleEGCest rectangle et isocèle enC.