EXERCICE 2 (5 points ) (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

(1)

EXERCICE 2 (5 points )

(Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O; − → u , − → v ).

On note r la rotation de centre O et d’angle π 6 . On considère le points A, d’affixe z

A

= − √

3 + i, le point A

1

d’affixe z

A1

= z

A

où z

A

désigne le conjugué de z

A

.

On note enfin B l’image du point A

1

par la rotation r et z

B

l’affixe du point B.

1. a. Écrire le nombre complexe z

A

sous forme exponentielle, puis placer les points A et A

1

, dans le repère. On prendra 2 cm comme unité graphique.

b. Vérifier que z

B

= 2 e

⁻^2iπ³

sous forme exponentielle, puis écrire le nombre complexe z

B

sous forme algébrique.

Placer alors le point B dans le même repère.

2. On considère le vecteur unitaire − → w tel que ( − → u , − → w ) = π

12 et la droite ∆ passant par O de vecteur directeur − → w .

a. Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle en O .

b. Tracer la droite ∆, puis démontrer que ∆ est la bissectrice de l’angle ! −→

OA, − − → OB "

. En déduire que les points A et B sont symétriques par rapport à la droite ∆.

3. On note B

1

le symétrique de B par rapport à l’axe (O; → − u ) et B

^"

l’image de B

1

par la rotation r.

Démontrer que B

^"

= A .

4. Dans cette question, toute trace de recherche ou d’initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soit C le point d’affixe √

2(1 + i ) et D le symétrique de C par rapport à la droite ∆.

Construire les points C et D, puis calculer l’affixe du point D.

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(2)

EXERCICE 2 1) a)|zA|=

!

"

−√ 3#2

+1²=2 puis

zA=2

$

−

√3 2 + 1

2i

%

=2

&

cos

&

5π 6

' +isin

&

5π 6

''

=2e^5iπ⁶ . Graphique

1 2

−1

−2

−3

1 2

−1

−2

−3

A

A1

B B1

C

O

∆

D

b)zA1="

2e^5iπ⁶ #

=2"

e^5iπ⁶ #

=2e⁻^5iπ⁶ puis

zB =zO+e^iπ⁶ (zA1−zO) =e^iπ⁶ ×2e⁻^5iπ⁶ =2eⁱ(^π6−^5π₆) =2e⁻^4iπ⁶ =2e⁻^2iπ³ . Ensuite,

zB=2

&

cos

&

−2π 3

' +isin

&

−2π 3

''

=2

$

−1 2 −i

√3 2

%

=−1−i√ 3.

zB =2e⁻^2iπ³ =−1−i√ 3.

2) a) zB

zA

= 2e⁻^2iπ³

2e^5iπ⁶ =eⁱ(⁻^2π3 −^5π₆) =e

−9iπ

6 =e⁻^3iπ² eⁱ(⁻^3π2+2π) =e^iπ² =i. On en déduit que

• OB OA = |zB|

|zA| =

( ( ( (

zB

zA

( ( ( (

=|i|=1et doncOA=OB.

• "−−OA,→ −OB→#

=arg

&zB

zA

'

=arg(i) = π 2 [2π].

Finalement, le triangleOABest rectangle isocèle enO.

(3)

b)L’affixe du vecteur −→w este^iπ¹² puis

• "−−OA,→ −→w#

=arg

&

z−→ w

zA

'

=arg

$ e^iπ¹² 2e^5iπ⁶

%

=arg"

eⁱ(12^π−^5π₆)#

=arg"

e⁻^9iπ¹²#

=arg"

e⁻^3iπ⁴ #

=−3π 4 [2π].

• "

−

→w ,−OB→#

=arg

&zB

z→− w

'

=arg

$2e⁻^2iπ³ e^iπ¹²

%

=arg"

eⁱ(⁻^2π3−₁₂^π)#

=arg"

e⁻^9iπ¹²#

=arg"

e⁻^3iπ⁴ #

=−3π 4 [2π].

Donc,"−−OA,→ −→w#

="

−

→w,−OB→#

. Ceci montre que la droite∆est la bissectrice de l’angle"−−OA,→ −OB→# . 3)zB1="

2e⁻^2iπ³ #

=2"

e⁻^2iπ³ #

=2e^2iπ³ puis

zB! =zO+e^iπ⁶ (zB1−zO) =e^iπ⁶ ×2e^2iπ³ =2eⁱ(^π6+^2π₃) =2e^5iπ⁶ =zA, et doncB^"=A.

4)|zC|=√ 2×√

1²+1²=√ 2×√

2=2 puis zC=2

&

√1 2 + 1

√2i '

=2"

cos"π 4

#+isin"π 4

##=2e^iπ⁴.

Notonssla symétrie orthogonale par rapport à la droite∆. Le pointOappartient à la droite∆. Donc OD=s(O)s(C) =OC=|zC|=2.

Posons alorszD=2e^iθ oùθ∈R. On a alors"−→u ,−−OD→#

=θ[2π]. PuisqueDest le symétrique deCpar rapport à la droite

∆, la droite∆est la bissectrice de l’angle"−→ OC,−−→

OD#

. Mais alors"−→ OC,−→w#

="

−

→w,−−→ OD#

. Or,

• "−→ OC,−→w#

="−→ OC,−→u#

+)−→u ,−→w*

=−π 4 + π

12 [2π],

• "

−

→w ,−−OD→#

=)−→w ,→−u* +"

−

→u ,−−OD→#

=−π

12+θ[2π].

Par suite,−π

12+θ=−π 4 + π

12 [2π]ou encoreθ=−π 4 + π

12+ π

12 [2π]ou enfinθ=−π

12 [2π]. Finalement, zD=2e⁻^iπ¹².