EXERCICE 2 (5 points )
(Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct(O,−→u ,−→v). L’unité graphique est 1 cm.
On noteile nombre complexe de module1et d’argument π 2. On considère les pointsA,B,C etP d’affixes respectives :
a=−2, b= 2−2i√
3, c= 3 + 3i√
3 et p= 10.
PARTIE A. Etude de la configuration 1. Construction de la figure.
a)Placer les pointsAetP dans le repère(O,−→u ,−→v ).
b)Déterminer les modules des nombres complexesbetc.
c)Utiliser les cercles de centreOet de rayons respectifs4et6pour construire les pointsBetC. 2. Démontrer que le triangleBCP est équilatéral.
3. On noterAla rotation de centreAet d’angle π 3.
a)Vérifier que l’imageQdu pointCparrAa pour affixe :q =−4 + 4i√ 3.
b)Vérifier l’égalitéq =−2b. Que peut-on en déduire pour les pointsB,O etQ? 4. SoitRle symétrique deCpar rapport àO.
a)Démontrer que les droites(AP),(BQ)et(CR)sont concourantes enO. b)Etablir que :AP =BQ=CR.
PARTIE B
On notef l’application qui, à tout pointM du plan, associe le réelf(M)défini par : f(M) =M A+M B +M C.
1. Calculerf(O).
2. SoientM un point quelconque etN son image par la rotationrA. Démontrer que :M A=M N puis queM C =N Q.
3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiatives, même infructueuses, sera prise en compte dans l’évaluation.
En utilisant l’inégalité triangulaire, démontrer que pour tout pointM du plan,f(M)!12.
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