Antilles Guyane 2013. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
On considère la suite(zn)à termes complexes définie parz0=1+i et, pour tout entier natureln, par
zn+1= zn+|zn| 3 .
Pour tout entier natureln, on pose :zn =an+ibn, oùanest la partie réelle de zn etbn est la partie imaginaire dezn.
Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites (an)et(bn).
Partie A
1)Donnera0etb0.
2)Calculerz1, puis en déduire quea1= 1+√ 2
3 et b1= 1 3. 3)On considère l’algorithme suivant :
Variables : AetBdes nombres réels Ket Ndes nombres entiers Initialisation : Affecter àAla valeur1
Affecter àBla valeur1 Traitement : Entrer la valeur deN
Pour Kvariant de1à N
Affecter à Ala valeur A+√A2+B2 3 Affecter à Bla valeur B
3 FinPour
AfficherA
a)On exécute cet algorithme en saisissantN=2. Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme (on arrondira les valeurs calculées à10−4près).
K A B
1 2
b) Pour un nombreN donné, à quoi correspond la valeur affichée par l’algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice ?
Partie B
1)Pour tout entier naturel n, exprimerzn+1en fonction de an et bn.
En déduire l’expression dean+1en fonction de an et bn, et l’expression debn+1en fonction de an etbn. 2)Quelle est la nature de la suite(bn)? En déduire l’expression debn en fonction den, et déterminer la limite
de(bn).
3) a) On rappelle que pour tous nombres complexeszet z′ :
|z+z′|!|z|+|z′| (inégalité triangulaire).
Montrer que pour tout entier naturel n,
|zn+1|!2|zn| 3 . b) Pour tout entier natureln, on poseun=|zn|.
Montrer par récurrence que, pour tout entier natureln,
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un !
!2
3
"n
√2.
c) Montrer que, pour tout entier natureln,|an|!un. En déduire que la suite(an)converge vers une limite que l’on déterminera.
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Antilles Guyane 2013. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 Partie A
1)a0=Re(z0) =1 etb0=Im(z0) =1.
2)|z0|=√
12+12=√ 2 puis
z1= z0+|z0|
3 = 1+i+√ 2
3 = 1+√ 2 3 +1
3i,
et donca1= 1+√ 2
3 etb1= 1 3. 3) a) Tableau.
K A B
1 0, 8047 0, 3333
2 0, 5586 0, 1111
b)Pour un nombreNdonné, l’algorithme affiche la valeur deaN. Partie B
1)Soitnun entier naturel.
zn+1= zn+|zn|
3 = an+ibn+!
a2n+b2n
3 = an+!
a2n+b2n
3 +ibn
3 .
Puisque an+!
a2n+b2n
3 et bn
3 sont des réels, on en déduit quean+1= an+!
a2n+b2n
3 etbn+1= bn
3 . 2)La suite (bn)est la suite géométrique de premier termeb0=1 et de raisonq= 1
3. On sait que pour tout entier natureln,
bn=b0×qn =
"
1 3
#n .
Puisque−1 < 1
3 < 1, lim
n→+∞bn =0.
3) a)Soitnun entier naturel.
|zn+1|=
$
$
$
$
zn+|zn| 3
$
$
$
$
= |zn+|zn||
|3| = |zn+|zn||
3
! |zn|+||zn||
3 = |zn|+|zn|
3 (car |zn| est un réel positif)
= 2|zn| 3 .
b)Montrons par récurrence que, pour tout entier natureln, un!
"
2 3
#n
√2.
•u0=|z0|=√ 2=
"
2 3
#0
√2. En particulier,u0!
"
2 3
#0
√2. L’inégalité à démontrer est donc vraie quandn=0.
• Soitn"0. Supposons queun!
"
2 3
#n
√2 et montrons queun+1!
"
2 3
#n+1
√2.
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un+1=|zn+1|
!2|zn|
3 (d’après la question précédente)
= 2 3un
!2 3×
"
2 3
#n√
2(par hypothèse de récurrence)
=
"
2 3
#n+1√ 2.
On a montré par récurrence que pour tout entier natureln,un!
"
2 3
#n
√2.
c)Soitnun entier natureln.
un =%
a2n+b2n"
%
a2n =|an|. et donc|an|!un.
A partir de la question précédente, on en déduit encore que pour tout entier natureln,|an|!
"
2 3
#n
√2.
Puisque−1 < 2
3 < 1, lim
n→+∞
"
2 3
#n√
2=0. Mais alors, d’après le théorème des gendarmes, lim
n→+∞an =0.
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