Antilles Guyane. Septembre 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) On noteCl’ensemble des nombres complexes.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé!
O,→−u ,−→v"
. On prendra comme unité 2cm sur chaque axe.
Un graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.
On considère la fonctionfqui à tout nombre complexezassocie f(z) =z2+2z+9.
1)Calculer l’image de −1+i√
3 par la fonctionf.
2)Résoudre dansCl’équation f(z) =5.
Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation.
Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les pointsAetBdont l’affixe est solution de l’équation (Aétant le point dont l’affixe a une partie imaginaire positive).
On laissera les traits de construction apparents.
3)Soitλun nombre réel. On considère l’équationf(z) =λd’inconnue z.
Déterminer l’ensemble des valeurs deλpour lesquelles l’équationf(z) =λadmet deux solutions complexes conjuguées.
4)Soit(F)l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixezvérifie
|f(z)−8|=3.
Prouver que(F)est le cercle de centreΩ(−1 ; 0)et de rayon√ 3.
Tracer(F)sur le graphique.
5)Soitzun nombre complexe, tel quez=x+iy oùxet ysont des nombres réels.
a)Montrer que la forme algébrique de f(z)est
x2−y2+2x+9+i(2xy+2y).
b) On note(E)l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixezest telle que f(z)soit un nombre réel.
Montrer que(E)est la réunion de deux droitesD1 etD2dont on précisera les équations.
Compléter le graphique en traçant ces droites.
6)Déterminer les coordonnées des points d’intersection des ensembles(E)et (F).
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Antilles Guyane. Septembre 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 : corrigé 1)
f!
−1+i√ 3"
=!
−1+i√ 3"2
+2!
−1+i√ 3"
+9=1−2i√
3−3−2+2i√
3+9=5.
f!
−1+i√ 3"
=5.
2)Pour tout nombre complexez, f(z) =5⇔z2+2z+4=0.
Le discriminant de l’équationz2+2z+4=0est∆=22−4×1×4=−12 < 0. L’équationz2+2z+4=0admet donc deux solutions non réelles conjuguées à savoirz1= −2+i√
12
2 = −2+2i√ 3
2 =−1+i√
3etz2=z1=−1−i√ 3.
|z1|=
#
(−1)2+!√ 3"2
=√
4=2puis z1=2
$
−1 2 +i
√3 2
%
=2
&
cos
&
2π 3
' +isin
&
2π 3
''
=2e2iπ3 ,
et aussiz2=z1=2e−2iπ3 .
Les solutions de l’équationf(z) =5sontz1=−1+i√
3=2e2iπ3 et z2=z1=−1−i√
3=2e−2iπ3 .
Figure.Aest le point du cercle de centreOet de rayon2, d’abscisse−1et d’ordonnée positive.
1 2
−1
−2
1 2
−1
−2
A
B
3)Soitλun nombre réel. Pour tout nombre complexez,f(z) =λ⇔z2+2z+9−λ=0.
Le discriminant de l’équationz2+2z+9−λ=0est
∆=22−4×1×(9−λ) =4λ−32.
L’équationf(z) =λadmet deux solutions complexes conjuguées si et seulement si∆< 0ce qui équivaut à4λ−32 < 0 ou enfin àλ< 8.
L’ensemble cherché est]−∞, 8[.
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4)Soitzun nombre complexe. SoitMle point du plan d’affixez.
|f(z)−8|=3⇔(
(z2+2z+1(
(=3⇔(
((z+1)2(
(=3⇔|z+1|2=3
⇔|z−(−1)|=√
3⇔ΩM=√ 3.
Donc,(F)est le cercle de centreΩ(−1; 0)et de rayon√
3. On note que les pointsAetBappartiennent à(F)car f(z1) =5⇒f(z1)−8=−3⇒|f(z1)−8|=3,
et de même pourz2.
1 2
−1
−2
1 2
−1
−2
−3
A
B
5) a)Soitzun nombre complexe. Posonsz=x+iy oùxet ysont des nombres réels.
f(z) = (x+iy)2+2(x+iy) +9=x2+2ixy−y2+2x+2iy+9=x2−y2+2x+9+i(2xy+2y).
b)Par suite,
f(z)∈R⇔Im(f(z)) =0⇔2xy+2y=0⇔2y(x+1) =0
⇔y=0oux=−1.
(E)est la réunion de la droiteD1 d’équationy=0et de la droiteD2d’équationx=−1. Voir graphique à la fin.
6)•SoitM(x, 0), x∈R, un point deD1puisz=xl’affixe de M.
M∈(F)⇔|x+1|=√
3⇔x+1=√
3oux+1=−√
3⇔x=−1+√
3oux=−1−√ 3.
Les points d’intersection de(F)et D1sont les pointsC!
−1−√ 3, 0"
etD!
−1+√ 3, 0"
.
•SoitM(−1, y), y∈R, un point deD2puisz=iyl’affixe deM.
M∈(F)⇔|−1+iy+1|=√
3⇔|iy|=√
3⇔|i|×|y|=√
3⇔|y|=√
3⇔y=−√
3ouy=−√ 3.
Les points d’intersection de(F)et D2sont les pointsA!
−1,√ 3"
et B!
−1,−√ 3"
. Finalement, les points d’intersection des ensembles(E)et(F)sont les pointsA!
−1,√ 3"
,B!
−1,−√ 3"
,C!
−1−√ 3, 0"
etD!
−1+√ 3, 0"
.
Remarque.On devait obtenir au moins les points Aet Bcar par exemple, d’après 2), f(zA) =5⇒
$ f(zA)∈R
f(zA)−8=−3 ⇒
$ f(zA)∈R
|f(zA)−8|=3 ⇒A∈(E)∩(F).
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1 2
−1
−2
1 2
−1
−2
−3
A
B
C D
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