Antilles Guyane 2011. Enseignement spécifique
EXERCICE 1 (5 points)(commun à tous les candidats) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct!
O,−→u ,→−v"
. On prendra 2 cm pour unité graphique.
On appelleJle point d’affixei.
1)On considère les points A, B,C,Hd’affixes respectivesa=−3−i,b=−2+4i,c=3−i eth=−2.
Placer ces points sur une figure, qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.
2)Montrer queJest le centre du cercleC circonscrit au triangleABC. Préciser le rayon du cercleC. 3)Montrer que les droites(AH)et(BC)sont perpendiculaires.
Dans la suite de l’exercice, on admet queHest l’orthocentre du triangleABC, c’est-à-dire le point d’intersection des hauteurs du triangleABC.
4)On note Gle centre de gravité du triangleABC. Déterminer l’affixegdu pointG.
PlacerG sur la figure.
5)Montrer que le centre de gravitéG, le centre du cercle circoncscritJet l’orthocentreHdu triangleABCsont alignés. Le vérifier sur la figure.
6)On note A′ le milieu de[BC]etKcelui de[AH]. Le pointA′ a pour affixea′= 1 2 +3
2i.
a)Déterminer l’affixe du pointK.
b) Démontrer que le quadrilatèreKHA′Jest un parallélogramme.
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Antilles Guyane 2011. Enseignement spécifique
EXERCICE 1 : corrigé 1) Figure.
1 2 3 4
−1
1 2 3
−1
−2
−3 O
A C
B
H
2) •JA=|a−i|=|−3−i−i|=|−3−2i|=!
(−3)2+ (−2)2=√ 13.
• JB=|b−i|=|−2+4i−i|=|−2+3i|=!
(−2)2+32=√ 13.
• JC=|c−i|=|3−i−i|=|3−2i|=!
32+ (−2)2=√ 13.
En résumé,JA=JB=JC=√
13et donc
le pointJest le centre du cercle circonscrit au triangleABCdont le rayon est√ 13.
3)Les coordonnées respectives des pointsA,H,BetCsont(−3,−1), (−2, 0),(−2, 4)et(3,−1).
Les coordonnées respectives des vecteurs−−→ AH et−→
BC sont(1, 1)et(5,−5).
−−→ AH.−→
BC=1×5+1×(−5) =0, et donc
les droites(AH)et (BC)sont perpendiculaires.
4)L’affixegdu centre de gravité du triangle ABCest g= a+b+c
3 = −3−i−2+4i+3−i
3 =−2
3 +2 3i.
5)L’affixe du vecteur−→
JGest g−i=−2 3 +2
3i−i=−2 3− 1
3i. L’affixe du vecteur−→
JHesth−i=−2−i.
Donch−i=3(g−i)ou encore−→ JH=3−→
JG. Ainsi, les vecteurs −→ JHet−→
JG sont colinéaires ou encore les pointsG,JetH sont alignés.
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1 2 3 4
−1
−2
−3
1 2 3
−1
−2
−3 O
A C
B
H
G J
6) a)On notek l’affixe du pointK.
k= a+h
2 = −3−i−2 2 =−5
2 −1 2i.
L’affixe du pointKestk=−5 2− 1
2i.
b)L’affixe du vecteur −−→
HA′ esta′−h= 1 2 +3
2i−(−2) = 5 2+3
2i.
L’affixe du vecteur −→
KJesti−k=i−
"
−5 2− 1
2i
#
= 5 2+ 3
2i.
Ainsi,a′−h=i−k ou encore−−→ HA′=−→
KJet par suite,
le quadrilatèreKHA′Jest un parallélogramme.
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1 2 3 4
−1
−2
−3
1 2 3
−1
−2
−3 O
A
A′
C B
H
G J
K
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