Antilles Guyane 2012. Enseignement spécifique
EXERCICE 2 (4 points)(commun à tous les candidats) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct!
O;−→u ,−→v"
.
On réalisera sur une feuille de papier millimétré une figure en prenant pour unité 2 cm. On complètera cette figure au fur et à mesure des questions.
On considère les pointsA,BetCdu plan complexe d’affixes respectives a=−1+2i ; b=−2−i ; c=−3+i.
1)Placer les pointsA, Bet Csur le graphique.
2) a)Calculer b a.
b)Déterminer le module et un argument de b a. c)Montrer que#−−→
OA,−→ OB$
=arg
%b
a
&
[2π].
d)Déduire des questions précédentes la nature du triangleOAB.
3)On considère l’application fqui à tout pointMd’affixez avecz̸=b, associe le pointM′ d’affixe z′ définie par
z′ = z+1−2i z+2+i .
a)Calculer l’affixec′ du pointC′, image de Cparfet placer le pointC′ sur la figure.
b)Déterminer l’ensembleE des pointsMd’affixezavecz̸=b, tels que|z′|=1.
c)Justifier que E contient les pointsOetC. TracerE.
4)Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l’évaluation.
On appelleJle point d’affixe−ia.
On appelleKle point d’affixeic.
On noteL le milieu de[JK].
Démontrer que la médiane issue deOdu triangleOJK est la hauteur issue deOdu triangleOAC.
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Antilles Guyane 2012. Enseignement spécifique
EXERCICE 2 : corrigé 1) Graphique.
1 2
−1
−2
−3
1 2
−1
−2
−3
A
B
C C′
J
K
E O
2) a) b
a = −2−i
−1+2i = i(−1+2i)
−1+2i =i.
b)On en déduit que
!
!
!
! b a
!
!
!
!
=|i|=1et arg
"
b a
#
=arg(i) =arg$ cos$π
2
%+isin$π 2
%%= π 2 [2π].
c)$−−→ OA,−→
OB%
=$−−→ OA,→−
u% +$−→
u ,−→ OB%
=−$−→ u ,−−→
OA% +$−→
u ,−→ OB%
=−arg(a) +arg(b) =arg
"
b a
# [2π].
d)
!
!
!
! b a
!
!
!
!
= |b|
|a| = OB
OA et puisque
!
!
!
! b a
!
!
!
!
=1, on en déduit queOA=OB. Donc, le triangleOAB est isocèle enO.
Puisque$−−→ OA,−→
OB%
=arg
"
b a
#
= π
2 [2π], le triangleOAB est rectangle enO.
Finalement
le triangleOAB est isocèle rectangle enO.
3) a)
c′= −3+i+1−2i
−3+i+2+i = −2−i
−1+2i= b a =i.
Le pointC′=f(C)a donc pour coordonnées(0, 1).
b)SoitMun point du plan distinct de Bd’affixez.
|z′|=1⇔ |z+1−2i|
|z+2+i| =1⇔|z−(−1+2i)|=|z−(−2−i)|(etz̸=−2−i)
⇔AM=BM(etM̸=B)
⇔AM=BM(car siM=B, alorsAM̸=BM)
⇔M∈med[AB].
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L’ensembleE est la médiatrice du segment[AB].
c)|zO′|=
!
!
!
! 1−2i
2+i
!
!
!
!
=
!
!
!
! b a
!
!
!
!
=1. DoncO∈E.
|c′|=|i|=1. DoncC∈E.
Puisque E est une droite,E est la droite(OC).
4)•zJ=−izA=−i(−1+2i) =2+i etzK=izC=i(−3+i) =−1−3i. Donc le pointJa pour coordonnées(2, 1)et le pointKa pour coordonnées(−1,−3).
• Le milieuL du segment[JK]a pour affixezL= zJ+zK
2 = 2+i−1−3i
2 = 1
2−i. Donc le pointLa pour coordonnées
"
1 2,−1
# .
• La médiane issue deOdu triangleOJKest la droite (OL). Les coordonnées du vecteur −→ OLsont
"
1 2,−1
# et les coordonnées du vecteur−→
ACsont(−3−(−1), 1−2)ou encore(−2,−1).
−→ OL.−→
AC= 1
2×(−2) + (−1)×(−1) =0.
Par suite, les vecteurs−→ OLet −→
ACsont orthogonaux ou encore la droite(OL)est perpendiculaire à la droite(AC).
Ainsi, la droite(OL)est également la hauteur issue deOdu triangleOAC.
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