AntillesGuyane 2015. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 (4 points) (commun à tous les candidats) Partie A
On appelleCl’ensemble des nombres complexes.
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé(O,−→u ,−→v), on a placé un pointM d’affixez appartenant à C, puis le pointR intersection du cercle de centreO passant parM et du demi-axe[0,−→u).
M
R O −→u
−
→v
1)Exprimer l’affixe du pointRen fonction de z.
2)Soit le pointM′ d’affixez′ définie par
z′=1 2
!z+|z| 2
"
. Reproduire la figure sur la copie et construire le pointM′.
Partie B
On définit la suite de nombres complexes(zn)par un premier termez0 appartenant àCet, pour tout entier naturel n, par la relation de récurrence :
zn+1=zn+|zn|
4 .
Le but de cette partie est d’étudier si le comportement à l’infini de la suite(|zn|)dépend du choix dez0.
1)Que peut-on dire du comportement à l’infini de la suite(|zn|)quandz0est un nombre réel négatif ? 2)Que peut-on dire du comportement à l’infini de la suite(|zn|)quandz0 est un nombre réel positif ? 3)On suppose désormais quez0 n’est pas un nombre réel.
a)Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement à l’infini de la suite(|zn|)? b)Démontrer cette conjecture, puis conclure.
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EXERCICE 3 : corrigé Partie A
1)Le point|zR|=|zM|=|z|et arg(zR) = 0 [2π]. Par suite,xR=|z|×cos(0) =|z|etyR=|z|×sin(0) = 0. Le point Ra pour coordonnées(|z|,0).
2)On construit d’abordM1 le milieu du segment[M R].M′ est alors le milieu du segment[OM1].
M
R O −→u
−
→v
M1
M′
Partie B
1) Soitz0 un réel négatif. Alors,|z0|=−z0 puis z1= z0+|z0|
4 = 0. Montrons par récurrence que pour tout n!1, zn= 0.
• L’égalité est vraie quandn= 1.
• Soitn!1. Supposons quezn = 0. Alors,zn+1= zn+|zn| 4 = 0.
On a montré par récurrence que pour tout entier natureln!1,zn= 0.
En particulier, la suite(zn)n∈Nconverge et dimn+∞zn= 0.
2)Soitz0un réel positif. Montrons par récurrence que pour toutn!0,zn est un réel positif.
• L’affirmation est vraie quandn= 0.
• Soitn!0. Supposons quezn soit un réel positif. Alorszn+1= zn+|zn|
4 est un réel positif.
On a montré par récurrence que pour tout entier natureln!0,zn est un réel positif.
Puisque pourn!0,zn est un réel positif, pour toutn!0, on a zn+1=zn+zn
4 =zn
2 . La suite(zn)n∈N est donc la suite géométrique de premier termez0et de raison 1
2. On en déduit que pour tout entier natureln,zn=z0
!1
2
"n .
Puisque−1< 1
2 <1, on en déduit que la suite(zn)n∈Nconverge et dimn+∞zn= 0.
3) a)Il semble que la suite(|zn|)n∈Nconverge et quedimn+∞|zn|= 0.
b)Soitn!0.
|zn+1|=1
4|zn+|zn||" 1
4(|zn|+||zn||) =1
4(|zn|+|zn|) =|zn| 2 . Montrons par récurrence que pour toutn!0,|zn|"|z0|
2n .
• Puisque |z0|
20 =|z0|, l’inégalité est vraie quandn= 0.
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• Soitn!0. Supposons que|zn|"|z0|
2n . Alors|zn+1|" |zn| 2 " 1
2 ×|z0| 2n = |z0|
2n+1. On a montré par récurrence que pour tout entier natureln!0,0"|zn|"|z0|
2n . Puisque lim
n→+∞
|z0|
2n = 0, le théorème des gendarmes permet d’affirmer que lim
n→+∞|zn|= 0.
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