Rochambeau 2016. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 (3 points) (commun à tous les candidats) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct(O,−→
u ,−→ v).
On considère le pointAd’affixe 4, le pointBd’affixe4iet les pointsC etDtels queABCD est un carré de centreO.
Pour tout entier naturel non nuln, on appelleMn le point d’affixezn= (1 +i)n.
1)Écrire le nombre1 +isous forme exponentielle.
2)Montrer qu’il existe un entier natureln0, que l’on précisera, tel que, pour tout entiern!n0, le pointMn est à l’extérieur du carréABCD.
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EXERCICE 3 : corrigé 1)|1 +i|=√
12+ 12=√ 2puis 1 +i=√
2
! 1
√2 + 1
√2i
"
=√ 2#
cos#π 4
$+isin#π 4
$$=√ 2eiπ4. 2) Graphique.
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
A B
C
D O
M0 M1
M2
M3
M4
M5
M6
Soitnun entier naturel. La plus grande distance du point O à un point du carréABCD est OA= 4. Donc, on est sûr que le pointMn est à l’extérieur du carré siOMn>4.
OMn>4⇔|zn|>4⇔|1 +i|n>4⇔#√ 2$n
>4
⇔ln##√ 2$n$
>ln(4) (par stricte croissance de la fonctionlnsur]0,+∞[)
⇔nln#√ 2$
>2 ln(2)⇔n
2 ln(2)>2 ln(2)⇔ n
2 >2⇔n >4
⇔n!5.
Donc, l’entiern0= 5convient. On note que, puisqueM4=C,5est la plus petite valeur possible den0.
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