Antilles Guyane 2016. Enseignement spécifique
EXERCICE 2 (3 points) (commun à tous les candidats)
On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct(O,−→u ,−→v).
On noteC l’ensemble des pointsM du plan d’affixeztels que |z−2|= 1.
1)Justifier queC est un cercle, dont on précisera le centre et le rayon.
2)Soitaun nombre réel. On appelleD la droite d’équationy=ax.
Déterminer le nombre de points d’intersection entre C etD en fonction des valeurs du réela.
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Antilles Guyane 2016. Enseignement spécifique
EXERCICE 2 : corrigé
1)SoitΩle point d’affixe2. Soientz un nombre complexe puisM le point du plan d’affixez.
M ∈C ⇔|z−2|= 1⇔|z−zΩ|= 1⇔ΩM = 1.
C est donc le cercle de centreΩet de rayon1.
2)Soita un réel. Soientxun réel puisM le point de D d’abscisse x. Les coordonnées du point M sont(x, ax)puis l’affixe du pointM est zM =x+iax.
M ∈C ⇔|zM−2|= 1⇔|x+iax−2|= 1⇔|(x−2) +iax|2= 1
⇔(x−2)2+ (ax)2= 1⇔x2−4x+ 4 +a2x2−1 = 0
⇔! a2+ 1"
x2−4x+ 3 = 0 (E).
Puisquea2+ 1>0,(E)est une équation du second degré. Son discriminant est
∆= (−4)2−4×! a2+ 1"
×3 = 16−12a2−12 = 4−12a2=−12
# a2−1
3
$
=−12
# a− 1
√3
$ # a+ 1
√3
$ .
1er cas.Sia > 1
√3 oua <− 1
√3, alors∆<0et donc l’équation(E)n’a pas de solution. Dans ce cas, le cercleC et la droiteDn’ont pas de point commun.
2ème cas. Si a= 1
√3 oua=− 1
√3, alors∆= 0 et donc l’équation(E)a exactement une solution. Dans ce cas, le cercleC et la droiteD ont exactement un point commun. La droiteD est alors tangente au cercleC.
3ème cas.Si− 1
√3 < a < 1
√3, alors∆>0et donc l’équation(E)a exactement deux solutions. Dans ce cas, le cercle C et la droiteD ont exactement deux points communs.
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
1 2 3 4 5
−1
a>
1
√ 3
a=
1
√3
−√13< a<
1
√3
a=
− 1
√
a 3
<−
√1 3
C
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