Pondichéry 2014. Enseignement spécifique EXERCICE 3 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé

Pondichéry 2014. Enseignement spécifique

EXERCICE 3 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O, − → u , − → v ).

Pour tout entier naturel n, on note A n le point d’affixe z n défini par :

z 0 = 1 et z n+1 =

! 3

4 +

√ 3 4 i

"

z n .

On définit la suite (r n ) par r n = | z n | pour tout entier naturel n.

1) Donner la forme exponentielle du nombre 3 4 +

√ 3 4 i 2) a) Montrer que la suite (r n ) est géométrique de raison

√ 3 2 . b) En déduire l’expression de r n en fonction de n.

c) Que dire de la longueur OA n quand n tend vers + ∞ ? 3) On considère l’algorithme suivant :

Variables n entier R réel

P réel strictement positif Entrée Demander la valeur de P Traitement R prend la valeur 1

n prend la valeur 0 Tant que R > P

n prend la valeur n + 1 R prend la valeur

√ 3 2 R Fin tant que

Sortie Afficher n

a) Quelle est la valeur affichée par l’algorithme pour P = 0, 5 ?

b) Pour P = 0, 01, on obtient n = 33. Quel est le rôle de cet algorithme ?

4) a) Démontrer que le triangle OA n A n+1 est rectangle en A n+1 . b) On admet que z ⁿ = r ⁿ e ⁱ

^nπ6

.

Déterminer les valeurs de n pour lesquelles A ⁿ est un point de l’axe des ordonnées.

c) Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie, représentant les points A 6 , A 7 , A 8 et A 9 . Les traits de construction seront apparents.

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ANNEXE

O

A 0

A 1

A 2

A 3

A 4

A 5

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Pondichéry 2014. Enseignement spécifique

EXERCICE 3 : corrigé

1)

!

!

!

!

! 3 4 +

√ 3 4 i

!

!

!

!

!

=

"

#

#

$

% 3 4

& ² +

' √ 3 4

( ²

= ) 12

16 = ) 3

4 =

√ 3 2 puis 3

4 +

√ 3 4 i =

√ 3 2

' √ 3 2 + 1

2 i (

=

√ 3 2

* cos * π 6

+ + i sin * π 6

++ =

√ 3 2 e ^iπ/6 .

3 4 +

√ 3 4 i =

√ 3 2 e ^{iπ/ 6} .

2) a) Soit n un entier naturel.

r n+1 = | z n+1 | =

!

!

!

!

! ' 3

4 +

√ 3 4 i

( z n

!

!

!

!

!

=

!

!

!

!

! 3 4 +

√ 3 4 i

!

!

!

!

!

× | z n | =

√ 3 2 r n . Donc la suite r n est géométrique de raison q =

√ 3 2 . b) On en déduit que pour tout entier naturel n,

r n = r 0 × q ⁿ = 1 × ' √

3 2

( n

= ' √

3 2

( n

.

Pour tout entier naturel n, r n = ' √

3 2

( n

.

c) Pour tout entier naturel n, OA n = | z n | = r n = ' √

3 2

( ⁿ

. Puisque − 1 <

√ 3

2 < 1, on sait que

n→+∞ lim OA n = 0.

3) a) Décrivons les différentes étapes.

• Etape 1. R = 1 et n = 0.

• Etape 2. On a R > P . Donc n = 1 et R =

√ 3

2 = 0, 8 . . .

• Etape 3. On a R > P . Donc n = 2 et R = 3

4 = 0, 75

• Etape 4. On a R > P . Donc n = 3 et R = 3 √ 3

8 = 0, 6 . . .

• Etape 5. On a R > P . Donc n = 4 et R = 9

16 = 0, 56 . . .

• Etape 6. On a R > P . Donc n = 5 et R = 9 √ 3

32 = 0, 4 . . ..

On a maintenant R ! P et donc l’algorithme s’arrête et affiche 5.

L’algorithme affiche 5.

b) L’algorithme demande la précision P puis affiche la première valeur de n pour laquelle r n ! P . 4) a) Soit n un entier naturel.

• OA n+1 = r n+1 =

√ 3

2 r n et OA n = r n . Enfin,

A n+1 A n = | z n+1 − z n | =

!

!

!

!

! ' 3

4 +

√ 3 4

( z n − z n

!

!

!

!

!

= | z n | ×

!

!

!

!

! 3 4 +

√ 3 4 − 1

!

!

!

!

!

=

!

!

!

!

!

− 1 4 +

√ 3 4

!

!

!

!

! r n =

"

#

#

$

%

− 1 4

& ² +

' √ 3 4

( ² r n =

) 4 16 r n = 1

2 r n .

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Mais alors,

A n+1 O ² + A n+1 A ² _n = ' √

3 2

( ² r ² _n +

% 1 2

& ² r _n ² =

% 3 4 + 1

4

&

r ² _n = r ² _n = OA ² _n .

D’après la réciproque du théorème de Pythagore , le triangle OA n A n+1 est rectangle en A n+1 . b) Soit n un entier naturel. Puisque z _n = r _n e ^inπ/6 et que r _n > 0, un argument de z _n est n π

6 . Par suite

A n ∈ (Oy) ⇔ il existe un entier relatif k tel que n π 6 = π

2 + kπ

⇔ il existe un entier relatif k tel que n = 3 + 6k

⇔ il existe un entier naturel k tel que n = 3 + 6k (car n est un entier naturel).

Les entiers naturels n pour lesquels A n est un point de l’axe des ordonnées sont les entiers naturels de la forme 3 + 6k, k ∈ N . Ce sont les entiers 3, 9, 15, 21 . . .

c) Figure.

O

A 0

A 1

A 2

A 3

A 4

A 5

A 6

A 7

A 8 A 9

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