Asie 2015. Enseignement spéciﬁque EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) Le plan est muni du repère orthonormé direct

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Asie 2015. Enseignement spécifique

EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Le plan est muni du repère orthonormé direct(O,−→u ,−→v).

On donne le nombre complexej=−1 2+i

√3 2 .

Le but de cet exercice est d’étudier quelques propriétés du nombrej et de mettre en évidence un lien de ce nombre avec les triangles équilatéraux.

Partie A : propriétés du nombrej

1) a)Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes l’équation

z²+z+ 1 = 0.

b)Vérifier que le nombre complexej est une solution de cette équation.

2)Déterminer le module et un argument du nombre complexej, puis donner sa forme exponentielle.

3)Démontrer les égalités suivantes : a)j³= 1;

b)j²=−1−j.

4)On noteP,Q,Rles images respectives des nombres complexes 1,j et j²dans le plan.

Quelle est la nature du triangleP QR? Justifier la réponse.

Partie B.

Soita, b,c trois nombres complexes vérifiant l’égalitéa+jb+j²c= 0.

On noteA,B,C les images respectives des nombresa, b,c dans le plan.

1)En utilisant la question A - 3. b., démontrer l’égalité :a−c=j(c−b).

2)En déduire queAC =BC.

3)Démontrer l’égalité :a−b=j²(b−c).

4)En déduire que le triangleABC est équilatéral.

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Asie 2015. Enseignement spécifique

EXERCICE 4 : corrigé Partie A

1) a)Le discriminant de l’équationz²+z+ 1 = 0est ∆= 1²−4×1×1 =−3<0. L’équationz²+z+ 1 = 0admet deux solutions complexes non réelles conjuguées à savoirz1=−1 +i√

3

2 etz2=z1= −1−i√ 3 2 .

Les solutions de l’équationz²+z+ 1 = 0sont−1 2 +i

√3 2 et−1

2 −i

√3 2 .

b)En particulier, le nombrej=−1 2+i

√3

2 est solution de l’équationz²+z+ 1 = 0.

2)|j|=

!

"

#

$

−1 2

%² +

&√ 3 2

'²

= (1

4 +3 4 =√

1 = 1puis

j=−1 2+i

√3 2 = cos

$2π 3

% +isin

$2π 3

% . j est le nombre complexe de module1 et d’argument 2π

3 ou encore j=e^2iπ³ .

3) a)j³=) e^2iπ³ *³

=e^2iπ×3³ =e^2iπ= cos(2π) +isin(2π) = 1.

b)j est solution de l’équationz²+z+ 1 = 0et doncj²+j+ 1 = 0puisj²=−1−j.

4)+ +j²−1+

+=+ +1−j²+

+=+

+j³−j²+ +=+

+j²+

+×|j−1|=|j|²×|j−1|=|j−1|et+ +j²−j+

+=+ +1−j²+

+=|j|×|j−1|=|j−1|. En résumé,|j−1|=+

+j²−1+ +=+

+j²−j+

+ou encore P Q=P R=QR. On en déduit que Le triangleP QRest équilatéral.

Partie B

1)a−c=−jb−j²c−c=−jb+ (j+ 1)c−c=−jb+jc=j(c−b).

2)AC=CA=|a−c|=|j(c−b)|=|j|×|c−b|=|c−b|=BC.

3)a−b=−jb−j²c−b= (−j−1)b−j²c=j²bj²c=j²(b−c).

4)BA=|a−b|=+

+j²(b−c)+

+=|j|²|b−c|=|b−c|=CB. Ainsi,AB =AC=BCet donc Le triangleABC est équilatéral.