Nouvelle Calédonie. Novembre 2013. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct!
O,−→u ,−→v"
. On noteCl’ensemble des nombres complexes.
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
1) Proposition: Pour tout entier natureln:(1+i)4n= (−4)n. 2)Soit (E) l’équation(z−4)!
z2−4z+8"
=0 oùz désigne un nombre complexe.
Proposition : Les points dont les affixes sont les solutions, dansC, de (E) sont les sommets d’un triangle d’aire 8.
3) Proposition: Pour tout nombre réelα,1+e2iα =2eiαcos(α).
4)Soit A le point d’affixezA= 1
2(1+i)et Mn le point d’affixe(zA)n oùndésigne un entier naturel supérieur ou égal à2.
Proposition : sin−1est divisible par 4, alors les pointsO,Aet Mn sont alignés.
5)Soitjle nombre complexe de module1 et d’argument 2π 3 . Proposition :1+j+j2=0.
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Nouvelle Calédonie. Novembre 2013. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 : corrigé
Proposition 1. VRAI Proposition 2. FAUX Proposition 3. VRAI Proposition 4. VRAI Proposition 5. VRAI
1)(1+i)2=1+2i−1=2ipuis(1+i)4=!
(1+i)2"2
= (2i)2=−4. Soit alorsnun entier naturel.
(1+i)4n=!
(1+i)4"n
= (−4)n. La proposition 1 est vraie.
2)Soitzun nombre complexe.
(z−4)!
z2−4z+8"
=0⇔z=4ouz2−4z+8=0.
Le discriminant de l’équationz2−4z+8=0 est∆= (−4)2−4×1×8=−16 < 0. L’équationz2−4z+8=0admet donc deux solutions non réelles conjuguées à savoirz1= −(−4) +4i
2 =2+2iet z2=z1=2−2i.
Les solutions de l’équation(E)dansCsont4,2+2iet2−2i.
1 2
−1
−2
1 2 3 4
L’aire du triangle dont les sommets ont pour affixes les solutions de(E)est la moitié de l’aire du rectangle de sommets les points de coordonnées(2, 2), (4, 2),(4,−2)et(2,−2). Cette aire est égale à 4×2
2 =4. La proposition 2 est fausse.
3)Soitαun nombre réel.
1+e2iα =eiα!
e−iα+eiα"
=eiα(cosα−isinα+cosα+isinα) =2eiαcos(α).
La proposition 3 est vraie.
4)|1+i|=√
12+12=√ 2puis 1
2(1+i) =
√2 2
# 1
√2 +i 1
√2
$
=
√2 2
%cos%π
4
&
+isin%π 4
&&
=
√2 2 eiπ4. En particulier, arg(zA) = π
4 [2π] puis arg(zMn) =arg! (zA)n"
= nπ
4 [2π]. On en déduit que %−→ u ,−−→
OA&
= π 4 [2π] et que%−→
u ,−−−→ OMn
&
= nπ
4 [2π]puis que
%−−→ OA,−−−→
OMn
&
=%−−→ OA,−→
u&
+%→− u ,−−−→
OMn
&
=−%−→ u ,−−→
OA&
+%→− u ,−−−→
OMn
&
=−π 4 + nπ
4 = (n−1)π 4 [2π].
Supposons de plus quen−1soit divisible par4. Posonsn=4p oùpest un entier naturel.
%−−→ OA,−−−→
OMn
&
= 4pπ
4 =pπ[2π].
Mais alors les pointsO, AetMn sont alignés. La proposition 4 est vraie.
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5)j=e2iπ3 puis
1+j+j2=1+cos
#2π
3
$ +isin
#2π
3
$ +cos
#4π
3
$ +isin
#4π
3
$
=1− 1 2+i
√3 2 −1
2 −i
√3
2 =0.
La proposition 5 est vraie.
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