Liban 2016. Enseignement spécifique
EXERCICE 5 (3 points) (commun à tous les candidats)
On considère la suite(zn)de nombres complexes définie pour tout entier naturelnpar :
! z0= 0 zn+1= 1
2i×zn+ 5
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on noteMn le point d’affixezn. On considère le nombre complexezA= 4 + 2ietA le point du plan d’affixezA. 1)Soit(un)la suite définie pour tout entier naturelnparun=zn−zA
a)Montrer que, pour tout entier natureln, un+1= 1 2i×un. b)Démontrer que, pour tout entier natureln :
un =
"
1 2i
#n
(−4−2i).
2)Démontrer que, pour tout entier natureln, les pointsA,Mn etMn+4 sont alignés.
http ://www.maths-france.fr 1 ⃝c Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.
Liban 2016. Enseignement spécifique
EXERCICE 5 : corrigé 1) a)Soitnun entier naturel.
un+1=zn+1−(4 + 2i) =1
2izn+ 5−4−2i= 1
2izn−(−1 + 2i) = 1 2i
⎛
⎜
⎝zn−
−1 + 2i 1 2i
⎞
⎟
⎠
= 1 2i
'
zn−2(−1 + 2i) i
(
=1 2i
'
zn−2(−1 + 2i)(−i) i(−i)
(
=1
2i(zn−2(−1 + 2i)(−i))
= 1
2i(zn−(2i+ 4)) =1 2iun.
b)Montrons par récurrence que pour tout tout entier natureln,un = '1
2i (n
(−4−2i).
• u0=z0−(4 + 2i) =−4−2i= '1
2i (0
(−4−2i). L’égalité est donc vraie quandn= 0.
• Soitn!0. Supposons queun= '1
2i (n
(−4−2i). Alors
un+1= 1
2iun(d’après la question a))
= 1 2i×
'1 2i
(n
(−4−2i) (par hypothèse de récurrence)
= '1
2i (n+1
(−4−2i).
On a montré par récurrence que pour tout entier natureln,un= '1
2i (n
(−4−2i).
2)Soitnun entier naturel. L’affixe du vecteur −−−→ AMn est
z−−−→
AMn=zn−zA=un= '1
2i (n
(−4−2i). On en déduit que
z−−−−−→ AMn+4=
'1 2i
(n+4
(−4−2i) = '1
2i (4
× '1
2i (n
(−4−2i) = 1 16z−−−→
AMn
.
Par suite,−−−−−→ AMn+4= 1
16
−−−→
AMn. Ainsi, les vecteurs−−−→
AMn et−−−−−→
AMn+4 sont colinéaires ou encore
les pointsA,Mn etMn+4 sont alignés.
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