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Liban 2016. Enseignement spécifique EXERCICE 5 (3 points) (commun à tous les candidats) On considère la suite

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Academic year: 2022

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Liban 2016. Enseignement spécifique

EXERCICE 5 (3 points) (commun à tous les candidats)

On considère la suite(zn)de nombres complexes définie pour tout entier naturelnpar :

! z0= 0 zn+1= 1

2i×zn+ 5

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on noteMn le point d’affixezn. On considère le nombre complexezA= 4 + 2ietA le point du plan d’affixezA. 1)Soit(un)la suite définie pour tout entier naturelnparun=zn−zA

a)Montrer que, pour tout entier natureln, un+1= 1 2i×un. b)Démontrer que, pour tout entier natureln :

un =

"

1 2i

#n

(−4−2i).

2)Démontrer que, pour tout entier natureln, les pointsA,Mn etMn+4 sont alignés.

http ://www.maths-france.fr 1 ⃝c Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.

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Liban 2016. Enseignement spécifique

EXERCICE 5 : corrigé 1) a)Soitnun entier naturel.

un+1=zn+1−(4 + 2i) =1

2izn+ 5−4−2i= 1

2izn−(−1 + 2i) = 1 2i

⎝zn

−1 + 2i 1 2i

= 1 2i

'

zn−2(−1 + 2i) i

(

=1 2i

'

zn−2(−1 + 2i)(−i) i(−i)

(

=1

2i(zn−2(−1 + 2i)(−i))

= 1

2i(zn−(2i+ 4)) =1 2iun.

b)Montrons par récurrence que pour tout tout entier natureln,un = '1

2i (n

(−4−2i).

• u0=z0−(4 + 2i) =−4−2i= '1

2i (0

(−4−2i). L’égalité est donc vraie quandn= 0.

• Soitn!0. Supposons queun= '1

2i (n

(−4−2i). Alors

un+1= 1

2iun(d’après la question a))

= 1 2i×

'1 2i

(n

(−4−2i) (par hypothèse de récurrence)

= '1

2i (n+1

(−4−2i).

On a montré par récurrence que pour tout entier natureln,un= '1

2i (n

(−4−2i).

2)Soitnun entier naturel. L’affixe du vecteur −−−→ AMn est

z−−

AMn=zn−zA=un= '1

2i (n

(−4−2i). On en déduit que

z−−−− AMn+4=

'1 2i

(n+4

(−4−2i) = '1

2i (4

× '1

2i (n

(−4−2i) = 1 16z−−

AMn

.

Par suite,−−−−−→ AMn+4= 1

16

−−−→

AMn. Ainsi, les vecteurs−−−→

AMn et−−−−−→

AMn+4 sont colinéaires ou encore

les pointsA,Mn etMn+4 sont alignés.

http ://www.maths-france.fr 1 ⃝c Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.

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