Antilles Guyane. Septembre 2017. Enseignement spécifique
EXERCICE 2 (3 points) (commun à tous les candidats)
Soit la suite de nombres complexes(zn)définie par
! z0= 100 zn+1= i
3znpour tout entier naturel n.
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct(O,−→ u ,−→
v).
Pour tout entier natureln, on noteMn le point d’affixezn.
1)Démontrer que, pour tout entier natureln, les pointsO,Mn et Mn+2 sont alignés.
2)On rappelle qu’un disque de centre A et de rayonr, oùrest un nombre réel positif, est l’ensemble des pointsM du plan tels queAM !r.
Démontrer que, à partir d’un certain rang, tous les pointsMn appartiennent au disque de centreOet de rayon 1.
http ://www.maths-france.fr 1 ⃝c Jean-Louis Rouget, 2018. Tous droits réservés.
Antilles Guyane. Septembre 2017. Enseignement spécifique
EXERCICE 2 : corrigé 1)Soitnun entier naturel.
z−OM−−−−→
n+2 =zn+2= i 3zn+1=
!i 3
"2
zn=−1
9zn=−1 9z−OM−−→
n
.
Mais alors,
−−−−−→
OMn+2=−1 9
−−−→OMn. Ainsi, les vecteurs−−−→
OMn et−−−−−→
OMn+2 sont colinéaires et donc les pointsO,Mn etMn+2 sont alignés.
2) Soit n ∈ N. OMn+1 = |zn+1| =
#
#
#
# i 3zn
#
#
#
#
= |i|
3 |zn| = 1
3OMn. Donc, la suite (un)n∈N = (OMn)n∈N est la suite géométrique de premier termeu0=OM0=|z0|= 100et de raisonq= 1
3. On en déduit que pour tout entier naturel n,
OMn =OM0×qn= 100
!1 3
"n
= 100 3n . Puisque −1 < 1
3 < 1, on sait que lim
n→+∞OMn = lim
n→+∞100
!1 3
"n
= 0. En particulier, il existe un rangn0 tel que, pourn!n0,OMn"1.
n0est un rang à partir duquel tous les points Mnappartiennent au disque de centre Oet de rayon1.
Déterminons explicitement un tel rang. Soitnun entier naturel.
OMn "1⇔ 100
3n "1⇔100"3n⇔3n !100
⇔n!5,
car34<100,35!100et car la suite(3n)n∈Nest strictement croissante.
A partir du rangn0= 5, tous les pointsMn appartiennent au disque de centreO et de rayon1.
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