Rochambeau 2012. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct!
O;→−u;−→v"
.
On considère l’application fdu plan dans lui-même qui, à tout pointMd’affixez, associe le pointM′ d’affixez′ telle que :
z′=z2. On noteΩle point d’affixe1.
1)Déterminer l’ensembleΓ1des pointsMdu plan tels quef(M) =M.
2)SoitAle point d’affixea=√ 2−√
2i.
a)Exprimer asous forme exponentielle.
b) En déduire les affixes des deux antécédents deAparf.
3)Déterminer l’ensembleΓ2des pointsMd’affixeztels que l’affixez′ du pointM′ soit un nombre imaginaire pur.
4)On note Ble point d’affixe−1. On admet que siM̸=Ω etM̸=B,M′ est distinct de Ω.
On souhaite déterminer l’ensembleΓ3des pointsMdistincts deΩet deBpour lesquels le triangleΩMM′ est rectangle isocèle direct en Ω.
a)Montrer que pour tout pointMdistinct deΩet deB,#−−→ ΩM,−−−→
ΩM′$
=arg
%z′−ω
z−ω
&
[2π].
b) En déduire queMest un point deΓ3si et seulement si z′−ω
z−ω est le nombre complexe de module1 et d’argument π
2.
c) Montrer queMest un point deΓ3si et seulement siz2−iz−1+i=0et z̸=1.
d) Montrer quez2−iz−1+i= (z−1)(z+1−i).
e)En déduire l’ensembleΓ3.
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Rochambeau 2012. Enseignement spécifique
EXERCICE 4
1)SoitMun point du plan dont l’affixe est notéez.
f(M) =M⇔z2=z⇔z(z−1) =0⇔z=0ouz=1⇔M=OouM=Ω.
Γ1={O,Ω}.
2) a)|a|=
!
"√ 2#2
+"√ 2#2
=2puis
a=2
$√
2 2 −i
√2 2
%
=2"
cos"
−π 4
#+isin"
−π 4
##=2e−iπ/4.
a=2e−iπ/4.
b)f(O) =Oet donc f(O)̸=A. SoitMun point du plan distinct deOd’affixez̸=0.
f(M) =A⇔z2=a⇔|z2|=|a|et il existe un entier relatifktel que arg(z2) =arg(a) +2kπ
⇔|z|2=2et il existe un entier relatifktel que2arg(z) =−π 4 +2kπ
⇔|z|=√
2et il existe un entier relatifktel que arg(z) =−π 8 +kπ
⇔z=√
2e−iπ/8ouz=−√
2e−iπ/8(car bien sûr,z2=a⇔(−z)2=a).
Les affixes des deux antécédents du pointAsont√
2e−iπ/8 et−√
2e−iπ/8. 3)Posonsz=x+iyoùxetysont deux réels.
z′=z2= (x+iy)2=x2−y2+2ixy.
Par suite,
z′ est imaginaire pur⇔Re(z′) =0⇔x2−y2=0⇔(x−y)(x+y) =0⇔y=xouy=−x.
Γ2est la réunion des deux droites d’équations respectivesy=xety=−x.
4) a)SoitMun point du plan distinct deΩet deBdont l’affixe est notéez. PuisqueM′est distinct deΩ,"−−→ ΩM,−−−→
ΩM′# existe et
"−−→ ΩM,−−−→
ΩM′#
="−−→ ΩM,−→
u# +"→−
u ,−−−→ ΩM′#
=−"→− u ,−−→
ΩM# +"−→
u ,−−−→ ΩM′#
=−arg(z−ω) +arg(z′−ω) =arg
&
z′−ω z−ω
' [2π].
b)SoitMun point du plan distinct de Ωet deB.
( ( ( (
z′−ω z−ω
( ( ( (
=1et arg
&
z′−ω z−ω
'
= π
2 [2π]⇔ |z′−ω|
|z−ω| =1et arg
&
z′−ω z−ω
'
= π 2 [2π]
⇔ ΩM′
ΩM =1et "−−→
ΩM,−−−→ ΩM′#
= π 2 [2π]
⇔ΩM=ΩM′et "−−→
ΩM,−−−→ ΩM′#
= π 2 [2π]
⇔ΩMM′est rectangle, isocèle, direct enΩ.
c)SoitMun point du plan distinct de Ωet deB.
ΩMM′est rectangle, isocèle, direct enΩ⇔ ( ( ( (
z′−ω z−ω
( ( ( (
=1et arg
&
z′−ω z−ω
'
= π 2 [2π]
⇔ z′−ω
z−ω =eiπ2 ⇔z′−ω
z−ω =i⇔z2−1 z−1 =i
⇔z2−1=i(z−1) (carz̸=1)
⇔z2−1=iz−i⇔z2−iz−1+i=0.
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d)Soitzun nombre complexe.
(z−1)(z+1−i) =z2−z+ (1−i)z−(1−i) =z2−iz−1+i.
e)SoitMun point du plan distinct deΩet deB. D’après les deux questions précédentes
M∈Γ3⇔z2−iz−1+i=0etz̸=1⇔(z−1)(z+1−i) =0etz̸=1⇔z=−1+i.
Γ3={C}oùzC=−1+i.
Commentaire.L’énoncé est mauvais. Si on reprend le calcul à partir de la question c) : z2−1
z−1 =i⇔ (z−1)(z+1)
z−1 =i⇔z+1=i⇔z=−1+i.
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