Centres étrangers 2010. Enseignement spécifique
EXERCICE 2 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) Dans le plan complexe(P)muni d’un repère orthonormal direct!
O,−→u ,−→v"
d’unité graphique 4 cm, on considère le pointAd’affixea=−1et l’applicationf, du plan(P)dans lui-même, qui au pointMd’affixez, distinct deA, associe le pointM′=f(M)d’affixez′ tel que :
z′= iz z+1.
1)Déterminer l’affixe des points Mtels queM′=M.
2)Démontrer que pour tout pointMdistinct deAet deO, on a :
OM′= OM
AM et#→−u ,−−−→ OM′$
=#−−→ MA,−−→
MO$ + π
2 à2π près.
3) a) SoitBle point d’affixeb=−1 2 +i.
Placer dans le repère le pointBet la médiatrice(∆)du segment[OA].
b) Calculer sous forme algébrique l’affixeb′ du pointB′ image du pointBparf.
Etablir queB′ appartient au cercle(C)de centreOet de rayon1.
Placer le pointB′ et tracer le cercle(C)dans le repère.
c) En utilisant la question 2, démontrer que, si un pointMappartient à la médiatrice(∆), son imageM′ parfappartient au cercle(C).
d) SoitCle point tel que le triangleOACsoit équilatéral direct.
En s’aidant des résultats de la question 2, construire, à la règle et au compas, l’image du point Cparf(on laissera apparent les traits de construction.)
4)Dans cette question, on se propose de déterminer, par deux méthodes différentes, l’ensemble (Γ)des pointsMdistincts deAet deOdont l’imageM′ parfappartient à l’axe des abscisses.
Les question a) et b) peuvent être traitées de façon indépendante.
a)On posez=x+iy avecxet yréels tels que(x, y)̸= (−1, 0)et (x, y)̸= (0, 0).
Démontrer que la partie imaginaire dez′ est égale à :
Im(z′) = x2+y2+x (x+1)2+y2.
En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble(Γ)et le tracer dans le repère.
b) A l’aide de la question 2, retrouver géométriquement la nature de l’ensemble(Γ).
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EXERCICE 2
1)Soientzun nombre complexe distinct de−1puisMle point d’affixez.
M′=M⇔ iz
z+1 =z⇔iz=z2+z⇔z2+ (1−i)z=0⇔z(z+1−i) =0
⇔z=0ouz=−1+i.
Les pointsMtels queM′=Msont les points d’affixes0et −1+i.
2)SoitMun point distinct deAet de O. Soitz l’affixe du pointM. On a doncz̸=0 etz̸=aet aussiz′ ̸=0 puis OM′=|z′|=
!
!
!
! iz z+1
!
!
!
!
= |i|×|z|
|z−a| = 1×OM
AM = OM AM, puis
"−→ u ,−−−→
OM′#
=arg(z′) =arg
$ z
z+1×i
%
=arg(z)−arg(z−a) +arg(i)
="−→ u ,−−→
OM#
−"→− u ,−−→
AM# + π
2 [2π]
="−−→ AM,→−
u# +"−→
u ,−−→ OM#
+ π 2 [2π]
="−−→ AM,−−→
OM# +π
2 [2π]
="
−−−→ MA,−−−→
MO# +π
2 [2π]
="−−→ MA,−−→
MO# +π
2 [2π].
Pour tout pointMdistinct deAet deO,OM′= OM AM et "−→
u ,−−−→ OM′#
="−−→ MA,−−→
MO# + π
2 [2π].
3) a)
B 1 (∆)
b)b′ = i
$
−1 2+i
%
−1
2 +i+1
=
−1−1 2i 1 2+i
= −2−i
1+2i = (−2−i)(1−2i)
(1+2i)(1−2i) = −2+4i−i−2
12+22 = −4+3i 5 .
b′= −4+3i 5 .
OB′=|b′|= 1
5|−4+3i|= 1 5
&
(−4)2+32=
√25
5 =1et doncB′ appartient au cercle(C).
1
−1
−1 1 A
O B
(∆)
B′ (C)
c)SoitMun point de la médiatrice du segment[OA]. Alors,OM′= OM
AM =1 et doncM′ appartient au cercle(C).
d) Le point C est à égale distance des points O et A. Donc le point C appartient à la droite (∆) puis, d’après la question précédente, le pointC′ appartient au cercle(C).
D’autre part, d’après la question 2),"−→ u ,−−→
OC′#
="−→ CA,−−→
CO# + π
2 =−π 3 + π
2 = π
6 [2π]. On en déduit que le pointC′ est le point du cercle(C)d’ordonnée 1
2 et d’abscisse strictement positive.
1
−1
1
−1 A
O B
(∆)
B′
C
(C) C′
4) a)SoitMun point distinct deOet deA.
z′= iz
z+1 = i(x+iy)
x+iy+1 = −y+ix
(x+1) +iy = (−y+ix)((x+1)−iy) ((x+1) +iy)((x+1)−iy)
= −y(x+1) +iy2+ix(x+1) +xy
(x+1)2+y2 = −y+i(x2+y2+x) (x+1)2+y2 . Donc Im(z′) = x2+y2+x
(x+1)2+y2. Par suite,
M∈(Γ)⇔z̸=0etz̸=−1et Im(z′) =0⇔(x, y)̸= (0, 0)et(x, y)̸= (−1, 0)etx2+y2+x=0.
Maintenant,x2+y2+x=0⇔
$ x+ 1
2
%2
+y2= 1
4.(Γ)est donc le cercle de centreΩ
$
−1 2, 0
%
et de rayon 1 2 privé des pointsOetA(en notant que les pointsOetAappartiennent effectivement au cercle d’équationx2+y2+x=0) ou encore(Γ)est le cercle de diamètre[OA]privé des points Oet A.
(Γ)est le cercle de diamètre[OA]privé des points OetA.
1
−1
1
−1 A
O B
(∆)
B′
C
(C) C′ (Γ)
