Centres étrangers 2017. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) Le plan est muni d’un repère orthonormé(O,−→u ,−→v).
Pour tout entiern>4, on considère Pn un polygone régulier àn côtés, de centreO et dont l’aire est égale à 1. On admet qu’un tel polygone est constitué dentriangles superposables à un triangleOAnBn donné, isocèle enO.
On notern=OAn la distance entre le centreOet le sommetAn d’un tel polygone.
Partie A : étude du cas particuliern= 6
On a représenté ci-contre un polygoneP6.
1)Justifier le fait que le triangleOA6B6 est équilatéral, et que son aire est égale à 1
6.
2)Exprimer en fonction der6la hauteur du triangle OA6B6 issue du sommetB6.
3)En déduire quer6= r 2
3√ 3.
×
×
×
×
×
×
O A6
B6
C6
D6
E6 F6
Partie B : cas général avec n>4
Dans cette partie, on considère le polygone Pn avec n > 4, construit de telle sorte que le pointAn soit situé sur l’axe réel, et ait pour affixern.
On note alorsrneiθnl’affixe deBnoùθnest un réel de l’intervalle i0 ; π
2
i. An
Bn
θn
rn
rn
1)Exprimer en fonction dernetθnla hauteur issue de Bndans le triangle OAnBnpuis établir que l’aire de ce triangle est égale à r2n
2 sin (θn).
2)On rappelle que l’aire du polygonePn est égale à 1.
Donner, en fonction den, une mesure de l’angle−−→OAn, −OB−→n
, puis démontrer que :
rn= v u u u t
2 nsin
2π n
.
Partie C : étude de la suite(rn)
On considère la fonctionf définie pour tout réelxde l’intervalle]0 ; π[par f(x) = x
sinx.
Ainsi, le nombrern, défini dans la partie B pourn>4, s’exprime à l’aide de la fonctionf par :
rn = s1
πf 2π
n
.
On admet que la fonctionf est strictement croissante sur l’intervalle]0 ; π[.
1)Montrer que la suite(rn)est décroissante. On pourra pour cela commencer par démontrer que pour toutn>4, on a : 0< 2π
n+ 1< 2π n < π.
2)En déduire que la suite(rn)converge. On ne demande pas de déterminer sa limiteL, et on admet dans la suite de l’exercice queL= 1
√π.
3)On considère l’algorithme suivant.
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VARIABLES : nest un nombre entier TRAITEMENT : nprend la valeur 4
Tant que v u u u t
2 nsin
2π n
>0,58faire
nprend la valeurn+ 1 Fin Tant que
SORTIE : Affichern
Quelle valeur numérique denva afficher en sortie cet algorithme ?
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