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Centres étrangers 2017. Enseignement spécifique

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Academic year: 2022

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Centres étrangers 2017. Enseignement spécifique

EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) Le plan est muni d’un repère orthonormé(O,−→u ,−→v).

Pour tout entiern>4, on considère Pn un polygone régulier àn côtés, de centreO et dont l’aire est égale à 1. On admet qu’un tel polygone est constitué dentriangles superposables à un triangleOAnBn donné, isocèle enO.

On notern=OAn la distance entre le centreOet le sommetAn d’un tel polygone.

Partie A : étude du cas particuliern= 6

On a représenté ci-contre un polygoneP6.

1)Justifier le fait que le triangleOA6B6 est équilatéral, et que son aire est égale à 1

6.

2)Exprimer en fonction der6la hauteur du triangle OA6B6 issue du sommetB6.

3)En déduire quer6= r 2

3√ 3.

×

×

×

×

×

×

O A6

B6

C6

D6

E6 F6

Partie B : cas général avec n>4

Dans cette partie, on considère le polygone Pn avec n > 4, construit de telle sorte que le pointAn soit situé sur l’axe réel, et ait pour affixern.

On note alorsrnenl’affixe deBnoùθnest un réel de l’intervalle i0 ; π

2

i. An

Bn

θn

rn

rn

1)Exprimer en fonction dernetθnla hauteur issue de Bndans le triangle OAnBnpuis établir que l’aire de ce triangle est égale à r2n

2 sin (θn).

2)On rappelle que l’aire du polygonePn est égale à 1.

Donner, en fonction den, une mesure de l’angle−−→OAn, −OB−→n

, puis démontrer que :

rn= v u u u t

2 nsin

2π n

.

Partie C : étude de la suite(rn)

On considère la fonctionf définie pour tout réelxde l’intervalle]0 ; π[par f(x) = x

sinx.

Ainsi, le nombrern, défini dans la partie B pourn>4, s’exprime à l’aide de la fonctionf par :

rn = s1

πf 2π

n

.

On admet que la fonctionf est strictement croissante sur l’intervalle]0 ; π[.

1)Montrer que la suite(rn)est décroissante. On pourra pour cela commencer par démontrer que pour toutn>4, on a : 0< 2π

n+ 1< 2π n < π.

2)En déduire que la suite(rn)converge. On ne demande pas de déterminer sa limiteL, et on admet dans la suite de l’exercice queL= 1

√π.

3)On considère l’algorithme suivant.

http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2018. Tous droits réservés.

(2)

VARIABLES : nest un nombre entier TRAITEMENT : nprend la valeur 4

Tant que v u u u t

2 nsin

2π n

>0,58faire

nprend la valeurn+ 1 Fin Tant que

SORTIE : Affichern

Quelle valeur numérique denva afficher en sortie cet algorithme ?

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