Centres étrangers 2010. Enseignement spécifique

(1)

Centres étrangers 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 2

1)Soientzun nombre complexe distinct de−1puisMle point d’affixez.

M^′=M⇔ iz

z+1 =z⇔iz=z²+z⇔z²+ (1−i)z=0⇔z(z+1−i) =0

⇔z=0ouz= −1+i.

Les pointsMtels queM^′=Msont les points d’affixes0et −1+i.

2)SoitMun point distinct deAet de O. Soitz l’affixe du pointM. On a doncz6=0 etz6=aet aussiz^′ 6=0 puis OM^′=|z^′|=

iz z+1

= |i|×|z|

|z−a| = 1×OM

AM = OM AM, puis

−→ u ,−−−→

OM^′

=arg(z^′) =arg z

z+1×i

=arg(z) −arg(z−a) +arg(i)

=−→ u ,−−→

OM

−→− u ,−−→

AM + π

2 [2π]

=−−→ AM,→−

u +−→

u ,−−→ OM

+ π 2 [2π]

=−−→ AM,−−→

OM +π

2 [2π]

=

−−−→ MA,−−−→

MO +π

2 [2π]

=−−→ MA,−−→

MO +π

2 [2π].

Pour tout pointMdistinct deAet deO,OM^′= OM AM et →−

u ,−−−→ OM^′

=−−→ MA,−−→

MO + π

2 [2π].

3) a)

1

−1

−1 1

b b

b

A

O B

(∆)

(2)

b)b^′ = i

−1 2+i

−1

2 +i+1

=

−1−1 2i 1 2+i

= −2−i

1+2i = (−2−i)(1−2i)

(1+2i)(1−2i) = −2+4i−i−2

1²+2² = −4+3i 5 .

b^′= −4+3i 5 .

OB^′=|b^′|= 1

5|−4+3i|= 1 5

p(−4)²+3²=

√25

5 =1et doncB^′ appartient au cercle(C).

1

−1

−1 1

b b

b

A

O

b

B (∆)

B^′ (C)

c)SoitMun point de la médiatrice du segment[OA]. Alors,OM^′= OM

AM =1 et doncM^′ appartient au cercle(C).

d) Le point C est à égale distance des points O et A. Donc le point C appartient à la droite (∆) puis, d’après la question précédente, le pointC^′ appartient au cercle(C).

D’autre part, d’après la question 2),−→ u ,−−→

OC^′

=−→ CA,−−→

CO + π

2 = −π 3 + π

2 = π

6 [2π]. On en déduit que le pointC^′ est le point du cercle(C)d’ordonnée 1

2 et d’abscisse strictement positive.

(3)

1

−1

1

−1

b b

bb

A

O

b b

B (∆)

B^′

C

(C) C^′

4) a)SoitMun point distinct deOet deA.

z^′= iz

z+1 = i(x+iy)

x+iy+1 = −y+ix

(x+1) +iy = (−y+ix)((x+1) −iy) ((x+1) +iy)((x+1) −iy)

= −y(x+1) +iy²+ix(x+1) +xy

(x+1)²+y² = −y+i(x²+y²+x) (x+1)²+y² . Donc Im(z^′) = x²+y²+x

(x+1)²+y². Par suite,

M∈(Γ)⇔z6=0etz6= −1et Im(z^′) =0⇔(x, y)6= (0, 0)et(x, y)6= (−1, 0)etx²+y²+x=0.

Maintenant,x²+y²+x=0⇔

x+ 1 2

2

+y²= 1

4.(Γ)est donc le cercle de centreΩ

−1 2, 0

et de rayon 1 2 privé des pointsOetA(en notant que les pointsOetAappartiennent effectivement au cercle d’équationx²+y²+x=0) ou encore(Γ)est le cercle de diamètre[OA]privé des pointsOet A.

(Γ)est le cercle de diamètre[OA]privé des points OetA.

b)SoitMun point du plan. D’après la question 2,

M∈(Γ)⇔M6=OetM6=Aet →− u ,−−−→

OM^′

=0[π]⇔M6=OetM6=Aet −−→ MA,−−→

MO + π

2 =0[π]

⇔M6=OetM6=Aet −−→ MA,−−→

MO

= −π 2 [π]

⇔M6=OetM6=AetOAMrectangle enM

⇔Mappartient au cercle de diamètre[OA]privé deOet deA.

On retrouve ainsi le résultat précédent.

(4)

1

−1

1

−1

b b

bb

A

O

b b

B (∆)

B^′

C

(C) C^′ (Γ)