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Centres étrangers 2017. Enseignement spécifique

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Academic year: 2022

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Centres étrangers 2017. Enseignement spécifique

EXERCICE 4 : corrigé

Partie A : étude du cas particuliern= 6

1)Puisque OA6 =OB6 =r6,OA6B6 est un triangle isocèle enO. Puisque les6 triangles sont superposables, l’angle au sommet estA\6OB6= 2π

6 = π

3. Puisque le triangleOA6B6 est un triangle isocèle enO,OA\6B6=OB\6A6 et donc π=A\6OB6+OA\6B6+OB\6A6

3 + 2OA\6B6

et donc OA\6B6 = 1 2

π−π 3

= π

3. Finalement,A\6OB6 = OA\6B6 = OB\6A6 = π

3 et donc le triangle OA6B6 est équilatéral.

Son aire est le sixième de l’aire du polygoneP6 et est donc égale à 1 6.

2)On noteH6le projeté orthogonal du pointB6sur la droite(OA6). Dans le triangleOH6B6, rectangle enH6, on a H6B6

OB6

= sin H\6OB6

et donc

H6B6=OB6×sin H\6OB6

=r6×sinπ 3

= r6

√3

2 . 3)L’aireA6du triangleOA6B6est

A6=OA6×H6B6

2 =

r6×r6

√3 2

2 =r26

√3 4 . Par suite,

A6= 1 6 ⇔ r26

√3 4 =1

6 ⇔r26= 4 6√

3 ⇔r26= 2 3√

3 ⇔r6= s 2

3√ 3. On a montré quer6=

r 2 3√

3. Partie B : cas général avec n>4

1)On noteHn le projeté orthogonal du pointBn sur la droite(OAn). Dans le triangleOHnBn, rectangle enHn, on a HnBn

OBn

= sin H\nOBn

et donc

HnBn=OBn×sin H\nOBn

=rnsin (θn).

L’aireAn du triangleOAnBn est

An= OAn×HnBn

2 = rn×rnsin (θn)

2 =r2nsin (θn)

2 .

2) Puisque les n triangles sont superposables, l’aireAn du polygone Pn est égale à 1

n et l’angle θn est égal à 2π n . Ensuite,

An = 1 n ⇔

rn2sin 2π

n

2 = 1

n ⇔rn2 = 2 nsin

2π n

.

Enfin,θn∈]0, π[et doncsin (θn)>0 puis

rn= v u u u t

2 nsin

2π n

.

http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2018. Tous droits réservés.

(2)

Partie C : étude de la suite(rn)

1)Soitn>4. Alors,0< n < n+ 1et donc0< 1 n+ 1 < 1

n 61

4. On en déduit que0< 2π n+ 1 <2π

n 62π

4 < π. Puisque la fonctionf est décroissante ur]0, π[, on en déduit quef

2π n+ 1

< f 2π

n

puis que 1 πf

2π n+ 1

< 1 πf

2π n

et finalement

s1 πf

2π n+ 1

<

s1 πf

2π n

par stricte croissance de la fonctionx7→√

xsur[0,+∞[.

Finalement, pour toutn>4,rn+1 < rn et donc la suite (rn)n>4 est strictement décroissante.

2)La suite(rn)n>4 est décroissante et minorée par0. Donc, la suite(rn)n>4 converge vers un certain réel positif ou nulL.

3)L’algorithme affiche la première valeur denà partir de laquelle on arn60,58.

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