Centres étrangers 2017. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 : corrigé
Partie A : étude du cas particuliern= 6
1)Puisque OA6 =OB6 =r6,OA6B6 est un triangle isocèle enO. Puisque les6 triangles sont superposables, l’angle au sommet estA\6OB6= 2π
6 = π
3. Puisque le triangleOA6B6 est un triangle isocèle enO,OA\6B6=OB\6A6 et donc π=A\6OB6+OA\6B6+OB\6A6=π
3 + 2OA\6B6
et donc OA\6B6 = 1 2
π−π 3
= π
3. Finalement,A\6OB6 = OA\6B6 = OB\6A6 = π
3 et donc le triangle OA6B6 est équilatéral.
Son aire est le sixième de l’aire du polygoneP6 et est donc égale à 1 6.
2)On noteH6le projeté orthogonal du pointB6sur la droite(OA6). Dans le triangleOH6B6, rectangle enH6, on a H6B6
OB6
= sin H\6OB6
et donc
H6B6=OB6×sin H\6OB6
=r6×sinπ 3
= r6
√3
2 . 3)L’aireA6du triangleOA6B6est
A6=OA6×H6B6
2 =
r6×r6
√3 2
2 =r26
√3 4 . Par suite,
A6= 1 6 ⇔ r26
√3 4 =1
6 ⇔r26= 4 6√
3 ⇔r26= 2 3√
3 ⇔r6= s 2
3√ 3. On a montré quer6=
r 2 3√
3. Partie B : cas général avec n>4
1)On noteHn le projeté orthogonal du pointBn sur la droite(OAn). Dans le triangleOHnBn, rectangle enHn, on a HnBn
OBn
= sin H\nOBn
et donc
HnBn=OBn×sin H\nOBn
=rnsin (θn).
L’aireAn du triangleOAnBn est
An= OAn×HnBn
2 = rn×rnsin (θn)
2 =r2nsin (θn)
2 .
2) Puisque les n triangles sont superposables, l’aireAn du polygone Pn est égale à 1
n et l’angle θn est égal à 2π n . Ensuite,
An = 1 n ⇔
rn2sin 2π
n
2 = 1
n ⇔rn2 = 2 nsin
2π n
.
Enfin,θn∈]0, π[et doncsin (θn)>0 puis
rn= v u u u t
2 nsin
2π n
.
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Partie C : étude de la suite(rn)
1)Soitn>4. Alors,0< n < n+ 1et donc0< 1 n+ 1 < 1
n 61
4. On en déduit que0< 2π n+ 1 <2π
n 62π
4 < π. Puisque la fonctionf est décroissante ur]0, π[, on en déduit quef
2π n+ 1
< f 2π
n
puis que 1 πf
2π n+ 1
< 1 πf
2π n
et finalement
s1 πf
2π n+ 1
<
s1 πf
2π n
par stricte croissance de la fonctionx7→√
xsur[0,+∞[.
Finalement, pour toutn>4,rn+1 < rn et donc la suite (rn)n>4 est strictement décroissante.
2)La suite(rn)n>4 est décroissante et minorée par0. Donc, la suite(rn)n>4 converge vers un certain réel positif ou nulL.
3)L’algorithme affiche la première valeur denà partir de laquelle on arn60,58.
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