Liban 2012. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct !
O;−→u;→−v"
. 1) Un triangle
a)On considère les points A,BetCd’affixes respectivesa=2,b=3+i√3et c=2i√3. Déterminer une mesure de l’angleABC!.
b)En déduire que l’affixeωdu centreΩdu cercle circonscrit au triangleABCest 1+i√ 3. 2) Une suite de nombres complexes
On note(zn)la suite de nombres complexes, de terme initialz0=0, et telle que :
zn+1= 1+i√ 3
2 zn+2, pour tout entier natureln. Pour tout entier natureln, on noteAn le point d’affixezn.
a)Montrer que les pointsA2,A3et A4ont pour affixes respectives : 3+i√
3, 2+2i√
3 et 2i√ 3. On remarquera que :A1=A, A2=BetA4=C.
b)Comparer les longueurs des segments[A1A2],[A2A3]et [A3A4]. c)Résoudre dansCl’équationz= 1+i√
3 2 z+2. d)Établir que pour tout entier natureln, on a :
zn+1−ω= 1+i√ 3
2 (zn−ω).
oùωdésigne le nombre complexe défini à la question1)b)(on utilisera le fait queω= 1+i√3 2 ω+2).
e)Déterminer la forme exponentielle de 1+i√ 3 2 .
f )Justifier que, pour tout entier natureln, on a : An+6=An. Déterminer l’affixe du pointA2012.
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Liban 2012. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 1) Un triangle.
a)Les pointsA,BetCont pour coordonnées respectives(2, 0), ! 3,√
3"
et ! 0, 2√
3"
. Les vecteurs−→
BAet −→
BCont pour coordonnées respectives!
−1,−√ 3"
et!
−3,√ 3"
.
−→ BA.−→
BC= (−1)×(−3) +!
−√ 3"
×√
3=3−3=0.
Donc, les vecteurs−→ BAet−→
BC sont orthogonaux et on en déduit que ABC! = π
2.
b)Ainsi, le triangleABCest rectangle en B. On en déduit que[AC]est un diamètre du cercle circonscrit au triangle ABCou encore le centre du cercle circonscrit au triangleABCest le milieu du segment [AC]. Donc,
ω= zA+zC
2 = 2+2i√ 3
2 =1+i√ 3.
Le centre du cercle circonscrit au triangleABCest le pointΩd’affixeω=1+i√ 3.
2) Une suite de nombres complexes.
a) • z1=0+2=2=a.
• z2= 1+i√ 3
2 ×2+2=1+i√
3+2=3+i√ 3=b.
• z3= 1+i√ 3
2 (3+i√
3) +2= 3+i√ 3+3i√
3−3
2 +2=2+ 4i√ 3
2 =2+2i√ 3.
• z4= 1+i√ 3
2 (2+2i√
3) +2=! 1+i√
3"2
+2=1+2i√
3−3+2=2i√ 3=c.
b) • A1A2=|z2−z1|=#
#
#3+i√ 3−2#
#
#=#
#
#1+i√ 3#
#
#=
$
12+!√ 3"2
=2.
• A2A3=|z3−z2|=#
#
#2+2i√
3−3−i√ 3#
#
#=#
#
#−1+i√ 3#
#
#=
$
(−1)2+!√ 3"2
=2.
• A3A4=|z4−z3|=#
#
#2i√
3−2−2i√ 3
#
#
#=|−2|=2.
A1A2=A2A3=A3A4=2.
c)Soitzun nombre complexe.
z= 1+i√ 3
2 z+2⇔z
%
1−1+i√ 3 2
&
=2⇔2−1−i√ 3
2 z=2⇔ 1−i√ 3 2 z=2
⇔z= 4 1−i√
3 ⇔z=
4! 1+i√
3"
! 1−i√
3" ! 1+i√
3" ⇔z= 4!
1+i√ 3"
12+!
−√ 3"2
⇔z=1+i√
3⇔z=ω.
L’ensemble des solutions de l’équation proposée est{ω}.
d)Puisqueωest solution de l’équationz= 1+i√ 3
2 z+2, on aω= 1+i√ 3 2 ω+2.
Soitn∈N.
zn+1−ω=
%1+i√
3 2 zn+2
&
−
%1+i√
3 2 ω+2
&
= 1+i√ 3
2 zn+2− 1+i√ 3 2 ω−2
= 1+i√ 3
2 (zn−ω).
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Pour tout entier natureln, zn+1−ω= 1+i√ 3
2 (zn−ω).
e)
1+i√ 3
2 = 1
2 +i
√3
2 =cos!π 3
"
+isin!π 3
"
=eiπ/3.
1+i√ 3
2 =eiπ/3.
f ) D’après les deux questions précédentes, pour tout entier naturel n, zn+1−ω = eiπ3(zn −ω). Donc, la suite (zn−ω)n∈Nest géométrique de raisoneiπ3.
On en déduit que pour tout entier natureln, zn+6−ω='
eiπ3(6
(zn−ω) =e2iπ(zn−ω) =zn−ω et donc quezn+6=zn. Mais alors
pour tout entier natureln,An+6=An.
On note que2012=6×335+2. D’après ce qui précède,A2=A2+6=A2+2×6=A2+3×6=. . .et plus généralement, pour tout entier natureln,A6n+2=A2. Donc,A2012=A2ou encore
z2012=z2=3+i√ 3.
1 2 3 4
−1
1 2 3 4 5
−1
Ω
A0 A1
A2=A2012 A3
A4
A5
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