2de Devoir en temps libre n°7 à remettre le 28 novembre 2008 Droite d'Euler du triangle.
Première partie : Conjectures
1. ABC est un triangle quelconque.
a . Construire le centre O du cercle circonscrit, le centre de gravité G et l'orthocentre H du triangle ABC. Quelle propriété géométrique semblent vérifier les points O, G et H?
b . Construire le cercle circonscrit au triangle ABC.
c . Construire les symétriques du point H par rapport aux côtés du triangle.
Quelle conjecture peut-on faire?
2. Refaire la construction précédente lorsque ABC est un triangle rectangle puis lorsque ABC est un triangle équilatéral. Que constate-t-on?
Deuxième partie : Étude dans le cas général.
On considère un triangle ABC. On désigne par A', B' et C' les milieux respectifs des cotés [BC], [AC] et [AB].
1. On désigne par G le centre de gravité du triangle ABC ; on rappelle que G est le point du plan vérifiant GAGBGC=0 et que AG=2
3AA' .
a . Si un point P est tel que PAPBPC=0 , peut-on en déduire que P est le centre de gravité du triangle ABC?
b . Démontrer que, pour tout point M du plan MAMBMC=3MG .
2. On désigne par le cercle circonscrit au triangle ABC et on note O le centre de . a . Construire le point H défini par : OH=OAOBOC .
b . Démontrer que les droites (AH) et (OA') sont parallèles . Que représente la droite (AH) pour le triangle ABC? Justifier.
c . Démontrer que H est l'orthocentre du triangle ABC 3. Démontrer que les points O, G et H sont alignés.
On vient de démontrer que, dans un triangle quelconque, le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l'orthocentre sont alignés. Lorsque ces points ne sont pas confondus, la droite qui les contient est appelée la droite d'Euler du triangle.
