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Soit G le centre de gravité, H l'orthocentre et O le centre du cercle circonscrit.

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Academic year: 2022

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Soit G le centre de gravité, H l'orthocentre et O le centre du cercle circonscrit. On suppose ABC non équilatéral.

Comme G est au tiers de la médiane, on obtient A' comme inter- section de la hauteur avec la parallèle au côté BC passant par G.

Il s'ensuit que A' est sur le cercle de diamètre GH et il en va de même pour B' et C'.

Les angles inscrits (A'C, B'C') et (A'G, B'G) sont égaux, et ce dernier est, par construction, égal à l'angle (BC, AC). Ainsi les angles de A'B'C' sont les opposés des angles de ABC…

Ces triangles sont donc (inversement) semblables, et le rapport de similitude est donné par le rapport des rayons des cercles cir- conscrits. D'après Lalesco 15.10, le carré du rapport cherché est égal à : (1 – 8 cosA cosB cosC) /9.

Considérons les perpendiculaires menées par A et B aux côtés B'C' et A'C'. L'angle entre ces deux droites est égal à l'angle

(AC, BC), donc leur intersection K est sur le cercle circonscrit à ABC. Il en va de même pour l'inter- section entre KB et la perpendiculaire à A'B' issue de C. [Ce point d'intersection pourrait (a priori) être B ou K… mais ce ne peut être B, car A'B' et AD auraient alors une perpendiculaire commune, B' serait en H et le triangle serait équilatéral…] Les trois perpendiculaires sont donc concourantes en K.

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