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droite de Euler : droite sur laquelle l'orthocentre H,le centre de gravité Z et le centre du cercle circonscrit O du triangle ABC sont situés

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

D 1935 Antoine Verroken

1. droite de Euler : droite sur laquelle l'orthocentre H,le centre de gravité Z et le centre du cercle circonscrit O du triangle ABC sont situés.

2. si HON est la bissectrice de l' angle CHI , on calcule (Stewart) : HN² = 4/3*HI² ou HI = sqrt(3)/2 * HN et l'angle HNI = 60°

3. preuve que la droite de Euler HON coupe la droite AC sous l'angle HNI =60°

- on prouve que les triangles ABI et HQO sont semblabes ou :

IB / HQ = AI / QO (1)

- IB = AB sin 60° = AB * sqrt(3)/2 (2)

- HQ = IB - BH - QI

- angles ABC = AOF ( couvrent le même arc ) - BH : - triangle GSR est semblabe au triangle ABC

- les hauteurs de GSR ont leur point d'intersection en O --> l'orthocentre de GSR est en même temps le centre du cercle circonscrit de ABC -->

BH = 2*OS = 2*R*cos ABC (3)

(2)

- AI = AB*sin 30° = AB/2 (4) - QO = IS

- AB² - AI² = BS² - IS² ( Pythgore)

- IS = ( 2*IC - AB ) / 4 (5)

- (2),(3),(4),(5) dans (1)

AB * sqrt(3)/2 / ( AB*sqrt(3)/2 - 3*R*cosABC = AB/2 / ( ( 2*IC - AB )/4 )

ou IB - HI = 2*R*cosABC = BH donc angle HNI = 60°

Remarque : dans un triangle obtusangle ABC

A > 90° : le centre du cercle circonscrit O et le point I se trouvent en dehors du triangle ABC B > 90° : le centre du cercle circonscrit O et l'orthocentre H se trouvent en dehors du tri-

angle ABC.

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