D296- La saga des parallélogrammes (2ème épisode) [*** à la main]
On considère un triangle ABC non isocèle qui dans lequel les points O,I et Ω désignent respectivement le centre du cercle circonscrit,le centre du cercle inscrit et le centre du cercle d'Euler.
On trace les milieux A₁,B₁ et C₁ des arcs BC,CA et AB qui ne contiennent pas les sommets A,B et C du triangle puis les symétriques A₂,B₂ et C₂ de ces points par rapport aux côtés BC,CA et AB. Soit F le centre du cercle circonscrit au triangle A₂B₂C₂ .
Soit D le point de contact du cercle exinscrit du secteur angulaire BAC avec le côté BC. La droite AD coupe la parallèle menée de O à la droite IΩ au point K
Démontrer que les points O,I,K et F forment un parallélogramme.
Solution proposée par Bernard Vignes.
Ce problème est une simple extension du problème D295 - La saga des parallélogrammes(1er épisode).
En effet, en reprenant les notations de ce problème avec le centre ω du cercle de Fuhrmann circonscrit au triangle A₂B₂C₂ et le point de Nagel N du triangle ABC à
l'intersection des céviennes qui joignent les sommets du triangle aux pieds des cercles exinscrits sur les côtés du triangle, il a été démontré que:
1) le quadrilatère HIOω est un parallélogramme, 2) la droite HNest parallèle à la droite OI.
2) HN = 2OI.
Il en résulte que ωN = IO et le quadrilatère IONω est un deuxième parallèlogramme avec le côté ON parallèle au côté IF. Comme IF a pour milieu Ω centre du cercle d'Euler du triangle ABC, la droite ON est parallèle à la droite IΩ.
Dans ce problème D296, le point F n'est autre que le point ω tandis que le point K par construction est confondu avec le point N.
Conclusion: les points O,I,K et F forment un parallélogramme.
