D1836. Aux couleurs belges ***
Soit un triangle acutangleABC(A,BetCdans le sens trigonométrique) tel queAB=c<BC=a<C A=b. Les pointsOetI sont respectivement le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle inscrit.
On trace :
- les deux cercles de centreAet de rayonsbetcqui coupent respectivement la droiteABau pointP (Bentre AetP) et la droiteC Aau pointQ(QentreAetC),
- les deux cercles de centreBet de rayonscetaqui coupent respectivement la droiteBCau pointR(Rentre BetC) et la droiteABau pointS(AentreBetS),
- les deux cercles de centreC et de rayonsaetbqui coupent respectivement la droiteC Aau pointT (T entre AetC) et la droiteBCau pointU (BentreU etC).
Q1−Démontrer que les trois droites aux couleurs belges,PUen noir,ST en jaune etQRen rouge sont paral- lèles entre elles et qu’elles sont perpendiculaires à la droiteOI.
Q2−On suppose queOI=QR. Déterminer l’angle enC.
Solution de Claude Felloneau
A B
C
O I
Q R
S T P U
On a :
−→AP=b c
−→AB ; −−→AQ=c b
−→AC
−→B R=c a
−→BC ; −→
B S=a c
−→B A
−−→C T=a b
C A−−→ ; −−→
CU=b a
−→C B Donc
−−→PU=−→
P A+−→
AC+−−→
CU=b c
−→B A+−→
AC+b a
C B−→
−→ST =−→
SB+−→
BC+−−→
C T=a c
−→AB+−→
BC+a b
C A−−→
−−→QR=−−→
Q A+−→
AB+−→
B R=c b
C A−−→+−→
AB+c a
−→BC
Q1−Les trois droitesPU,STetQRsont perpendiculaires à la droiteOIdonc parallèles entre elles.
Preuve :
A B
C
O
I
Q R
B0 IB
IC
IA
On note :
-IA,IB,ICles projetés orthogonaux respectifs deIsur les droitesBC,C A,AB
-x=C IB,y=AICetz=B IA
-B0,C0et A0 les milieux respectifs des segments AC, B AetC B.
On a alors b = x+y, c = y+z et a = z+x donc a+b+c=2x+2y+2z.
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−−−→B0IB=1 b
³x−a 2
´−−→C A=2x−a 2b
−−→C A
donc −−→
C A·−→
OI=−−→
C A·−−−→
B0IB=2x−a 2b
−−→C A2=(2x−a)b.
De même−→
AB·−→
OI=(2y−b)cet−→
BC·−→
OI=(2z−c)a.
Comme−−→
QR=c b
−−→C A+−→
AB+c a
−→BC, on a
QR−−→·−→
OI=c b
C A−−→·−→
OI+−→
AB·−→
OI+c a
−→BC·−→
OI=(2x−a)c+(2y−b)c+(2z−c)c=c(2x+2y+2z−a−b−c)=0 cara+b+c=2x+2y+2z.
Ainsi, la droiteQRest perpendiculaire à la droiteOI.
On démontre de façon analogue que les droitesPUetST sont perpendiculaires à la droiteOI. Les droitesPU,STetQRsont donc parallèles entre elles.
Q2−L’angle en C mesure 30°.
En effet :
D’après la relation d’EulerOI2=R2−2r RoùRest le rayon du cercle circonscrit au triangleABCetr celui du cercle inscrit dans le triangleABC.
En utilisant le triangleO AC0rectangle enC0, on aR= c 2 sinCb.
Le partage du triangleABCen 3 trianglesI AB,I BCetIC Adonner(a+b+c)=2SoùSest l’aire du triangle ABC. CommeS=1
2absinCbon obtient 2r R= abc
a+b+c =abc(a+b−c)
(a+b)2−c2 = abc(a+b−c) a2+b2+2ab−¡
a2+b2−2abcosCb¢= c(a+b−c) 2¡
1+cosCb¢=c(a+b−c)¡
1−cosCb¢ 2 sin2Cb Donc
OI2= c2
4 sin2Cb−c(a+b−c)¡
1−cosCb¢
2 sin2Cb =3c2−2ac−2bc−2c(a+b+c) cosCb 4 sin2Cb
Soit
¡2OIsinCb¢2
=3c2−2ac−2bc−2c(a+b+c) cosCb
=2c2+a2+b2−2abcosCb−2ac−2bc−2c(a+b+c) cosCb
=(a−c)2+(b−c)2−2(a−c)(b−c) cosCb
=C R2+CQ2−2×C R×CQ×cosRCQ
=³−→
C R−−−→
CQ´2
=−−→
QR2=QR2 DoncQR=2OIsinC.b
Ainsi
QR=OI⇐⇒sinCb=1
2⇐⇒Cb=30°.
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