Enonc´e noD164 (Diophante)
On consid`ere trois cercles tangents deux `a deux de centres A, B etC. Les points de contact des cercles pris deux `a deux sont respectivement P sur BC,Qsur CAetR sur AB.
SoitI le centre du cercle inscrit au triangleABC. On trace les deux cercles tritangents aux trois cercles, le plus petit ayant pour centre J et le plus grand qui englobe les trois autres ayant pour centreK. D´emontrer que les droites AP, BQ et CR se coupent en un mˆeme point L et que les quatre pointsI, J, K etLsont align´es.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
1) Le rayon du cercle inscrit dans le triangle ABC est IP = IQ = IR.
L’inversion de pˆoleI et de puissance IP2 transforme les cercles (A), (B) et (C) en eux-mˆemes, et par cons´equent les cercles (J) et (K) l’un dans l’autre.
Il en r´esulte que I, J, K sont align´es.
2) Je notea, b, c les rayons des cercles (A), (B) et (C).
En valeur alg´ebrique sur chacun des cˆot´esBC, CA, AB on a BP/b+CP/c= 0,CQ/c+AQ/a= 0,AR/a+BR/b= 0.
Alors (BP/CP)(CQ/AQ)(AR/BR) = (−b/c)(−c/a)(−a/b) =−1, etAP, BQ, CR sont concourantes (enL) par le th´eor`eme de C´eva.
Le point L admet par rapport au triangle ABC les coordonn´ees barycen- triques (1/a,1/b,1/c).
3) Le point J est l’un des points de la branche d’hyperbole d´efinie par la relationM B−M C =b−c. Je vais chercher l’intersection de cette courbe avec la droiteIL, en utilisant les coordonn´ees barycentriques.
Je note p = a+b +c, qui est le demi-p´erim`etre du triangle ABC, car les longueurs des cˆot´es sont BC = b+c, CA = c+a, AB = a+b; je noteq =bc+ca+ab; l’aire S du triangle ABC v´erifie (formule de H´eron) S2=pabc.
Les coordonn´ees barycentriques (x, y, z) d’un pointM sont proportionnelles aux aires des triangles M BC, M CA et M AB, soit xS, yS, zS respective- ment.
Soit doncM caract´eris´e sur l’hyperbole par M B =r+b, M C =r+c. Le carr´e de l’aire du triangleM BC vaut (par H´eron) x2S2 =rbc(r+b+c).
Si M appartient `a la droite IL, c’est le barycentre de I et L affect´es des poidsu et 1−u.
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Les trianglesIBC, ICA, IAB ont mˆeme hauteur issue de I, leurs aires sont proportionnelles `a BC, CA, AB dont la somme vaut 2p. Donc
xI = (b+c)/(2p) = (1−a/p)/2.
Les coordonn´ees deLsont proportionnelles `a 1/a,1/b,1/cde sommeq/abc= pq/S2, doncxL=S2/(pqa).
La droiteILcoupe l’hyperbole au point M o`u
rbc(r+b+c) =rS2(r+p−a)/(pa) =x2S2=S2(uxI+ (1−u)xL)2. Multipliant par a2, on obtient une ´equation du 4e degr´e ena et du second degr´e enu, d´ependant du param`etre r.
Je la ram`ene au second degr´e en a en observant que a, b, c sont les racines du polynˆome en t:
t3−pt2+qt−S2/p,
ce qui permet de remplacera4−2pa3 par
−a2(p2+q) +a(pq+S2/p)−S2. Cela donne (`a un facteur constant pr`es)
a2(P(u) + 4pr) +a(Q(u)−4pr(r+p) + 4(1−u)2S4/q2−u2q2= 0,
avecP(u) = 4u(u−1)S2/q−qu2,Q(u) = 4u(1−u)pS2/q+u2S2/p+pqu2. On peut y satisfaire en prenantqu= 2S(1−u) etpr=S2/(2S+q), valeurs qui annulent les 3 coefficients de ce trinˆome en a.
L’´equation reste alors satisfaite si on remplaceaparbouc. Cela signifie que le pointM de ILd´efini par la relation (en valeur alg´ebrique)
M L/IM = 2S/q a la propri´et´e M A−a=M B−b=M C−c=r.
C’est le centre d’un cercle de rayon|r|tangent aux trois cercles donn´es, qui lui sont ext´erieurs sir >0 (pointJ), ou int´erieurs sir <0 (point K).
Les deux possibilit´es existent, car S n’intervient dans la mise en ´equation que par son carr´e, donc toutes les ´equations restent valables si on remplace S par−S. On a pour K
(−KA)−a= (−KB)−b= (−KC)−c=r <0,
mais le triangleKBC, de cˆot´esb+c,−r−c,−r−b, de demi-p´erim`etre −r, a encore pour carr´e de son aire rbc(r+b+c).
En conclusion,J etKsont les points deILd´efinis par (en valeur alg´ebrique) J L/IJ =−KL/IK= 2S/q
Remarque. En prenant pour inconnue le rayonr du cercle (J), on en d´eduit 2
toutes les arˆetes du t´etra`edre J ABC et en ´ecrivant qu’il est de volume nul (par exemple avec le “d´eterminant de Crelle”), on obtient
(1/r+ 1/a+ 1/b+ 1/c)2= 2(1/r2+ 1/a2+ 1/b2+ 1/c2).
Quand quatre cercles du plan sont tangents deux `a deux, le carr´e de la somme des courbures est deux fois la somme des carr´es des courbures. On en tire le mˆeme r´esultat que ci-dessus
1/r = (q±2S)/(abc), la valeur n´egative ´etant l’oppos´e de la courbure du cercle (K).
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