Première S2 Exercices sur le chapitre 15 : E2. 2007 2008
E2 Savoir déterminer des équations de cercles.
P 235 n ° 35.
C est le cercle de centre K ( - 2 ; 0 ) et de rayon 2.
Soit M ( x ; y ) alors M ∈ C ⇔ ( x − ( - 2 ) )² + ( y − 0 )² = 2 ² ⇔ ( x + 2 )² + y² = 2.
Une équation de C est donc ( x + 2 )² + y² = 2.
P 235 n ° 36 a.
( C ) est le cercle de centre ω ( 2 ; - 1 ) et de rayon R = 5. A ( 5 ; 3 ) ( 5 − 2 )² + ( 3 + 1 )² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² donc A ∈ ( C ).
Une équation de la tangente en A au cercle ( C ) est telle que
ÄAM . ωÅΑ = 0 ⇔ ( x − 5 ) × ( 5 − 2 ) + ( y − 3 ) ( 3 + 1 ) = 0 ⇔ 3x − 15 + 4y − 12 = 0 ⇔ 3x + 4y − 27 = 0 P 238 n ° 68.
a. ( C ) est le cercle de centre ω ( 2 ; 3 ) et de rayon r = 3.
Une équation du cercle ( C ) est ( x − 2 )² + ( y − 3 )² = 3² = 9.
b. ( C ) est le cercle de centre ω ( -1 ; 4 ) et de rayon r = 2.
Une équation du cercle ( C ) est ( x + 1 )² + ( y − 4 )² = 2.
P 238 n ° 69 a.
a. ( C ) est un cercle de diamètre [ AB ] avec A ( - 2 ; 3 ) et B ( 1 ; - 1 ).
Alors ( C ) est l'ensemble des points M ( x ; y ) tels que ÄAM . ÄBM = 0
⇔ ( x + 2 ) ( x − 1 ) + ( y − 3 ) ( y + 1 ) = 0 ⇔ x² − x + 2x − 2 + y² + y − 3y − 3 = 0 ⇔ x² + y² + x − 2y − 5 = 0.
Une équation de ( C ) est donc x² + y² + x − 2y − 5 = 0.
P 238 n ° 70.
( E ) est l'ensemble des points M ( x ; y ) du plan tels que x² + y² + 2x + 4y + 1 = 0.
( F ) est l'ensemble des points M ( x ; y ) du plan tels que x² + y² − 6x + 10 = 0.
a. x² + y² + 2x + 4y + 1 = 0 ⇔ x² + 2x + y² + 4y + 1 = 0 ⇔ ( x + 1 )² − 1 + ( y + 2 )² − 4 + 1 = 0 x² + y² + 2x + 4y + 1 = 0 ⇔ ⇔ ( x + 1 )² + ( y + 2 ) ² = 4 = 2²
donc ( E ) est un cercle de centre C ( - 1 ; - 2 ) et de rayon 2.
La droite ( OC ) a pour équation : y = 2x .
Elle coupe le cercle aux points vérifiant : y = 2x et x² + y² + 2x + 4y + 1 = 0 ⇔ x² + 4x² + 2x + 8x + 1 = 0
⇔ 5x² + 10x + 1 = 0
∆ = 100 − 4 × 5 = 80 donc x1 = ( - 10 − 80 ) / 10 = - 1 − 2 5
5 et x2 = - 1 + 2 5 5 Donc A ( - 1 − 2 5
5 ; - 2 − 4 5
5 ) et B ( - 1 + 2 5
5 ; - 2 + 4 5 5 )
b. x² + y² − 6x + 10 = 0 ⇔ x² − 6x + y² + 10 = 0 ⇔ ( x − 3 )² − 9 + y ² + 10 = 0 ⇔ ( x − 3 )² + y² = - 1.
Ce qui est une égalité impossible. Donc l'ensemble ( F ) n'existe pas.
