De tous temps, les hommes se sont intéressés aux jeux de hasard. La théorie des probabilités est une branche des mathématiques née de l'étude des jeux de hasard à laquelle contribuèrent notamment les mathématiciens français Pierre de Fermat et Blaise Pascal. Elle fut axiomatisée, au XXe siècle, par le russe Kolmogorov.
Un problème : on lance deux pièces de monnaie et on note pour chacune les côtés apparus " pile " P ou " face " F.
Quelle est la probabilité d'obtenir " pile et face " ?
Si on note les résultats observables PP, PF et FF, on risque de répondre qu'il y a une chance sur trois d'obtenir PF.
Or, si l'on effectue un très grand nombre de lancers, la fréquence d'apparition de la paire PF se rapproche de 0,5.
Jacques Bernoulli ( Bâle, 1654 - Bâle, 1705 ) a le premier expérimenté mathématiquement que plus on fait d'expériences, plus la fréquence d'un événement se rapproche de sa probabilité de réalisation.
Dans ce cas, ces fréquences sont voisines de 0,5. Or dans le problème posé, le nombre de cas possibles est quatre : PP, PF, FP et FF car PP et FF se réalise d'une seule façon mais " pile et face " se réalise de deux façons.
Il y a donc 2 cas sur quatre qui réalisent " pile et face ".
Le jeu " lancer d'un dé " a lui aussi six issues possibles et l'incertitude demeure sur le résultat.
Ces deux jeux sont des exemples d'expériences aléatoires.
E1 Lancer de pièces et de dés…
Activité 1 p 157.
Activité 2 lancer de deux dés.
On lance maintenant deux dés bien équilibrés :
un bleu et un rouge et on s'intéresse aux points obtenus sur les deux faces apparentes.
Ce total est un nombre entier compris entre 2 et 12.
On peut s'intéresser à la réalisation de certains événements tels que : " obtenir un total de 8 " ou bien " obtenir un total pair ", etc.
On a lancé 500 fois ces deux dés et noté chaque fois le résultat obtenu.
Total 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Nombre d'apparitions 13 28 43 58 72 85 66 55 40 26 14
1. Calculer la fréquence de l'événement " le total est 8 ".
2. Calculer la fréquence de l'événement " le total est 3 ".
3. En admettant que vous vous intéressiez à ce jeu ; sur quel total a t-on le plus de chances de gagner ? 1 Expérience aléatoire.
Alea est un mot latin signifiant " jeu de dé ", " hasard ".
Lorsqu'on ne sait à l'avance quelle sera l'issue d'une expérience, on dit qu'il s'agit d'une expérience aléatoire.
Une expérience aléatoire peut conduire à plusieurs issues notées e1, e2, …, er. Une seule se réalise à la fois sans que l'on puisse la prévoir.
Exemple : On dispose de deux jetons dont chacun a une face peinte en rouge R et une face peinte en bleu B.
On jette les jetons puis on note les couleurs obtenues. Ce sont :
Simuler une expérience, c'est utiliser un procédé technique adapté à la situation envisagée et qui doit rendre compte des conditions de l'expérience.
( autrement dit : simuler une expérience consiste à simuler un modèle de cette expérience. ) On réalise ainsi un modèle de l'expérience.
On répète n fois l'expérience dont les issues sont e1, e2, …, er. Si l'issue ei se réalise k fois, la fréquence fi deei est le nombre k
n . Pour chacune des issues possibles, on calcule sa fréquence : f1, f2, …, fr.
Exemple : on lance 50 fois une pièce de monnaie bien équilibrée. On s'intéresse au nombre d'apparitions de face F et de pile P. Donner deux exemples de simulations de cette expérience. Voir feuille annexe.
Une fréquence est un nombre compris entre 0 et 1.
La somme des fréquences est égale à 1.
Pour cet échantillon de n expériences, la distribution des fréquences est l'ensemble { f1, f2, …, fr }.
Cette distribution des fréquences varie d'un échantillon à l'autre.
Les fluctuations de fréquences sont d'autant moins fortes que n est plus grand.
Si l'événement A est réalisé pour les issues e1, e2, e3 alors la fréquence de l'événement A est égale à f1 + f2 + f3.
E2 Distributions de fréquences.
1 ) P 165 n ° 8.
2 ) Lancer une punaise un grand nombre de fois et noter si la punaise tombe sur le dos ou si elle est " cassée" . Calculer la fréquence relative du nombre de fois où la punaise tombe sur le dos.
Que concluez-vous ? 2 La loi des grands nombres.
Jacques Bernoulli énonça le premier cette propriété importante qui établit un lien entre fréquences et probabilités.
Si l'on répète n fois la même expérience de manière indépendante dans les même conditions, et si n tend vers plus l'infini, la fréquence d'une issue tend vers une valeur théorique p, appelée probabilité de cette issue.
E3 Savoir dénombrer.
1 ) Première technique : le tableau.
Reprenons l'exemple du lancer de deux dés. On lance deux dés bien équilibrés : un bleu et un rouge et on s'intéresse aux points obtenus sur les deux faces apparentes.
Construire un tableau afin de dénombrer tous les cas possibles.
2 ) Deuxième technique : l'arbre.
On jette successivement trois pièces de monnaie bien équilibrées.
Construire un arbre dénombrant tous les cas possibles.
3 ) Troisième technique : le diagramme de Venn.
Dans un club de 60 joueurs de cartes, 40 jouent au bridge, 28 au tarot et 10 à ces deux jeux.
Construire un diagramme résumant cette situation.
Combien d'adhérents jouent à d'autres jeux de cartes ? 3 Probabilité d'un événement.
On envisage des expériences ne comportant qu'un nombre fini d'issues possibles.
Pour une expérience donnée, on désigne par Ω l'ensemble de toutes les issues possibles.
On note Ω = { e1 ; e2 ; … ; en }.
Définir une loi de probabilité sur Ω c'est associer à chacune des issues e1 ; e2 ; … ; en d'une expérience aléatoire, un réel p ( e1 ) ; p ( e2 ) ; … ; p ( en ) tel que pour tout i, 0 ≤ p ( ei ) ≤ 1 et p ( e1 ) + p ( e2 ) + … + p ( en ) = 1.
Exemples : voir feuille annexe.
Un événement est une partie de Ω.
Un événement élémentaire ne comporte qu'une seule issue : { e2 }.
Un événement A est une partie de Ω.
On note A ⊂ Ω ce qui se lit A est inclus dans Ω.
L'événement contraire de A ( on dit aussi événement complémentaire de A ) est la partie complémentaire de A dans Ω. On le note A .
Soient A et B deux événements.
L'événement A ou B ( noté A ∪ B ) est réalisé si l'un au moins des deux événements est réalisé.
L'événement A et B noté ( A ∩ B ) est réalisé si A et B sont réalisés tous les deux.
La probabilité d'un événement A est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui réalisent A.
Et on a : 0 ≤ p ( A ) ≤ 1 p ( A ) = 1 − p ( A ).
Soient A et B deux événements. Alors p ( A ∪ B ) = p ( A ) + p ( B ) − p ( A ∩ B ).
Exemples : voir feuille annexe.
Cas particulier important : équirépartition ou équiprobabilité.
Lorsque les n événements élémentaires ont tous la même probabilité, on dit que la loi est équirépartie ( on dit aussi qu'il y a équiprobabilité ). Alors p ( ei ) = 1
n pour tout i.
Soit A un événement Alors p ( A ) =
possibles cas
de nombre
A à favorables
cas de nombre
Exemple : voir feuille annexe.
E4 Savoir calculer des probabilités.
P 165 n ° 11 ; 12 ; 13 ; 16 ; 17 ; 18.
4 Variable aléatoire.
Ω est l'ensemble des résultats d'une expérience aléatoire.
Définir une variable aléatoire X sur Ω consiste à associer un nombre réel à chaque résultat.
Notation : x est un nombre réel.
L'événement " X prend la valeur x " est noté ( X = x ).
Exemple : On lance deux fois de suite une pièce de monnaie. On note les côtés apparus : P ou F.
Soit E une expérience aléatoire.
Soit X une variable aléatoire définie sur E.
Soit I l'ensemble des valeurs de X.
I = { x1 ; x2 ; … ; xm }.
Soit p'i la probabilité de l'événement :
" X prend la valeur xi " événement que l'on note X = xi.
Alors la loi de probabilité de la variable aléatoire X est la fonction qui à chaque xi associe le nombre p'i = p ( X = xi ). On a p'1 + p'2 + … p'm = 1.
Exemple : on lance trois fois une pièce de monnaie. Faisons un arbre pour dénombrer.
Imaginons le jeu qui consiste à gagner 1 € chaque fois que F apparaît et perdre 1 € chaque fois que P apparaît. On associe à chaque issue le gain du joueur.
On définit une variable aléatoire notée X. Calculer la probabilité de l'événement " gagner 1 €. "
Tableau représentant cette loi de probabilité : Valeur xi x1 x2 … xm
p ( X = xi ) p'1 p'2 … p'm
La similitude avec le tableau d'une série statistique des fréquences d'une valeur d'un caractère conduit aux définitions suivantes :
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire X, notée E ( X ), est le nombre réel donné par la formule : E ( X ) = x1 p1 + x2 p2 + …+ xm pm =
∑
== m i
1 i
xi pi.
Dans un jeu de hasard le mot " espérance " fait penser à " espoir de gain ".
Le calcul de E ( X ) est exactement celui de la moyenne d'une série statistique obtenue à partir des fréquences.
La variance d'une variable aléatoire X, notée V ( X ), est le nombre réel donné par les formules : V ( X ) =
∑
== m i
1 i
pi ( xi − E ( X ) )² =
∑
== m i
1 i
pi xi² − E² ( X )
L'écart type de la variable aléatoire X, notée σ( X ), est égal à la racine carrée de la variance : σ( X ) = V ( X )
E5 Variable aléatoire, espérance, et écart type.
P 171 n ° 49 ; 50 ; 59 ; et 61.
