Première S2 Exercices sur le chapitre 15 : E3. Page n ° 1 2007 2008
E3 Trigonométrie.
P 235 n ° 38 3 − π4 = π π
12 cos ( π
12 ) = cos ( π
3 − π4 ) = cos π 3 cos π
4 + sin π 3 sin ( π
4 )
cos ( π 12 ) = 1
2 × 2 2 + 3
2 × 2 2 = 2
4 + 4
6
sin ( π
12 ) = sin ( π
3 − π4 ) = sin π 3 cos π
4 − cos π 3 sin ( π
4 ) sin ( π
12 ) = 3 2 × 2
2 − 1 2 × 2
2 = 4 6 −
2 4 p 235 n ° 39.
cos π 4 = 2
2 et sin π 4 = 2
2 cos ( π
4 ) = cos ( 2 × π
8 ) = 2 cos ² ( π 8 ) − 1 donc cos² ( π
8 ) = ( cos ( π
4 ) + 1 ) / 2 = ( 2
2 + 1 ) / 2 = 4 2+ 2
or cos ( π
8 ) est un nombre positif donc cos ( π 8 ) =
2 2 2+ . cos ( π
4 ) = cos ( 2 × π
8 ) = 1 − 2 sin ² ( π 8 )
donc sin² ( π
8 ) = ( 1 − cos ( π
4 ) ) / 2 = (1 − 2
2 ) / 2 = 4 2 2−
or sin ( π
8 ) est un nombre positif donc sin ( π 8 ) =
2 2 2− .
P 235 n ° 40
a. A = cos ( x − π
4 ) + cos ( x + π
6 ) = cos x cos π
4 + sin x sin π
4 + cos x cos π
6 − sin x sin π 6 A = 2
2 cos x + 2
2 sin x + 3
2 cos x − 1
2 sin x =
+
2 3
2 cos x +
−
2 1
2 sin x
b. A = sin ( x − π
4 ) + sin ( x + π
6 ) = sin x cos π
4 − cos x sin π
4 + sin x cos π
6 + cos x sin π 6 A = 2
2 sin x − 2
2 cos x + 3
2 sin x + 1
2 cos x =
+
2 3
2 sin x +
− 2
2
1 cos x
c. A = 2 cos ( x + π
6 ) − 3 sin ( x − π
3 ) = 2cos x cos π
6 − 2sin x sin π
6 − 3 sin x cos π
3 + 3 sin π 3 cos x A = 2 × 3
2 × cos x − 2 × 1
2 × sin x − 3 × 1
2× sin x + 3 × 3
2 × cos x = 5 3
2 cos x − 5 2 sin x
Première S2 Exercices sur le chapitre 15 : E3. Page n ° 2 2007 2008
p 239 n ° 75
a. sin ( a − b ) = sin a cos b − sin b cos a = 0,6 × ( - 12 13 ) − 5
13 × 0,8 = - 72 130 − 40
130 = - 112 130 = - 56
65 cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b = 0,8 × ( - 12
13 ) − 0,6 × 5
13 = - 96 130 − 30
130 = - 126
130 = - 63 65 b. sin ( 2a ) = 2 sin a cos a = 2 × 0,6 × 0,8 = 0,96
cos ( 2a ) = cos ² a − sin ² a = 0,8² − 0,6 ² = 0,64 − 0,36 = 0,28 sin ( 2b ) = 2 sin b cos b = 2 × 5
13 × ( - 12
13 ) = - 120 169 cos ( 2b ) = cos ² b − sin ² b = 144
169 − 25 169 = 119
169 p 239 n ° 76.
sin ( 3a ) = sin ( 2a + a ) = sin 2a cos a + sin a cos 2a = 2 sin a cos a cos a + sin a ( 1 − 2 sin ² a ) sin ( 3a ) = 2 sin a cos ² a + sin a − 2 sin 3 a = 2 sin a ( 1 − sin ² a ) + sin a − 2 sin 3 a
sin ( 3a ) = 2 sin a − 2 sin 3 a + sin a − 2 sin 3 a = 3 sin a − 4 sin 3 a
cos ( 3a ) = cos ( 2a + a ) = cos 2a cos a − sin 2a sin a = ( 2 cos ² a − 1 ) cos a − 2 sin a cos a sin a cos ( 3a ) = 2 cos 3 a − cos a − 2 cos a ( 1 − cos ² a ) = 2 cos 3 a − cos a − 2 cos a + 2 cos 3 a cos ( 3a ) = 4 cos 3 a − 3 cos a
p 239 n ° 77
a. ABC est un triangle rectangle en A. On connaît les formules : a sin
Ç
A= b sin
Ç
B= c sinC
Ç
D'après le théorème de Pythagore : BC² = BA² + AC² avec les notations de cette année cela devient : a² = c² + b² Or sin² A × b² = sin² B × a² = sin ² B ( c² + b² ) = sin² B × c² + sin² B × b² = b² sin ² C + sin ² B × b²
D'où en simplifiant par b² on a sin ² A = sin ² B + sin ² C b. sin ² A = sin ² B + sin ² C
⇔ b² sin ² A = b² sin ² B + b² sin ² C = b² sin² B + c² sin ² B = sin ² B ( b² + c² ) = a² sin ² B
⇔ sin ² B ( a² − b² − c² ) = 0 ⇔ sin B = 0 ou a ² = b² + c² ⇔ B = π ou a² = b² + c²
L'angle B ne peut être égal à 180 ° sinon le triangle est aplati donc ABC est un triangle rectangle en A.
p 239 n ° 78
ABC est un triangle tel que b = a + c.
a. On connaît les formules : a sin
Ç
A= b sinB
Ç
= c sinC
Ç
donc b = a + c ⇔ sin B
Ç
× csinC
Ç
= sin
Ç
A × c sinCÇ
+ sin C
Ç
× b sinBÇ
⇔ sin B
Ç
× c = sin AÇ
× c + sin CÇ
× b sinÇ
B× sin C
Ç
⇔ sin B × c = sin
Ç
A × c + sinÇ
C × c ⇔ sinÇ
B = sinÇ
A + sinÇ
CÇ
b. Déjà fait car j'ai procédé par équivalence.
P 239 n ° 79.
ABC est un triangle tel que sin C = 2 sin B cos A a. On connaît les formules : a
sinA
Ç
= b sin
Ç
B= c sinC
Ç
donc c = b sinB
Ç
× sin C = b sin
Ç
B× 2 sin B cos A Donc c = 2b cos A
b. a² = b² + c² − 2bc cos A = b² + 4b² cos ² A − 2 b × 2b cos A cos A = b² + 4b² cos² A − 4b² cos ² A = b² Donc a² = b² et don a = b et par conséquent le triangle ABC est isocèle en C.
