Première S2 Exercices sur le chapitre 9 : E8. 2007 2008
E8 Résolution numérique de y ' = g ( x ).
f ( 1 ) = et f ' ( x ) = . et t0 = 1 , t1 = 1,1 , etc … t40 = 5 et y0 = f ( t0 ) , y1 = f ( t1 ) , … , y40 = f ( t40 ).
1 ) a ) Calculons y1. Donnons l'approximation affine de f ( t0 + h ). f ( t0 ) = , on choisit donc y0 = . f ( t0 + h ) f ( t0 ) + h f ' ( t0 ). Donc f ( t1 ) + 0,1 0,7.
1 ) b ) Calculons y2. Démontrons que l'on peut choisir pour approximation y2 y1 + 0,1 1.
y2 = f ( t2 ) = f ( t1 + h ) f ( t1 ) + h f ' ( t1 ) donc y2 y1 + 0,1 .
2 ) En réitérant le processus mis en place ci-dessus, on arrive de proche en proche à choisir yk+1 = yk + 0,1 k
pour k entier entre 0 et 39. Cet algorithme de calcul permet d'obtenir les valeurs yk à l'aide d'un tableur.
ti yi f ( ti) f ( ti ) -yi ti yi f ( ti) f ( ti ) -yi
1 0.666666667 0.666666667 0 3.1 3.6005281 3.638742151 0.038214051
1.1 0.766666667 0.769126489 0.002459822 3.2 3.776596269 3.816222682 0.039626413 1.2 0.871547551 0.876356092 0.004808541 3.3 3.955481707 3.996498467 0.04101676 1.3 0.981092063 0.988152035 0.007059972 3.4 4.137140728 4.179526821 0.042386092 1.4 1.095109605 1.104334893 0.009225287 3.5 4.321531617 4.365266951 0.043735334 1.5 1.213431201 1.224744871 0.01131367 3.6 4.508614487 4.553679831 0.045065344 1.6 1.335905688 1.349238468 0.01333278 3.7 4.698351146 4.744728069 0.046376922 1.7 1.462396795 1.477685879 0.015289084 3.8 4.890704987 4.938375801 0.047670814 1.8 1.592780843 1.609968944 0.017188101 3.9 5.085640874 5.134588591 0.048947717 1.9 1.726944921 1.745979509 0.019034587 4 5.28312505 5.333333333 0.050208283 2 1.864785409 1.885618083 0.020832674 4.1 5.48312505 5.534578173 0.051453123 2.1 2.006206765 2.028792744 0.022585979 4.2 5.685609618 5.738292429 0.052682811 2.2 2.151120533 2.175418223 0.02429769 4.3 5.890548633 5.944446521 0.053897888 2.3 2.299444502 2.325415136 0.025970634 4.4 6.097913047 6.153011909 0.055098863 2.4 2.451102011 2.478709342 0.02760733 4.5 6.307674816 6.363961031 0.056286215 2.5 2.606021345 2.635231383 0.029210038 4.6 6.519806851 6.577267247 0.057460397 2.6 2.764135228 2.794916019 0.030780791 4.7 6.734282956 6.792904795 0.058621839 2.7 2.925380383 2.957701811 0.032321427 4.8 6.95107779 7.010848736 0.059770946 2.8 3.08969715 3.123530766 0.033833615 4.9 7.170166813 7.231074916 0.060908103 2.9 3.257029156 3.292348031 0.035318875 5 7.391526249 7.453559925 0.062033675
3 3.427323019 3.464101615 0.036778596
On obtient alors une courbe d'une solution approchée du problème à l'aide de l'assistant graphique.
3 ) Comparaison avec la solution exacte a ) f ( x ) = x donc f ' ( x ) = ( 1 +
x 2
1 x ) = ( x 2
x x 2
) = x
x = x f ( 1 ) = donc cette fonction f répond bien au problème.
b ) Constatons les erreurs commises. Voir tableau ci dessus.
yi
0 2 4 6 8
0 1 2 3 4 5 6
