Solutions des exercices du Chapitre 9
9.1
(a) La probabilit´e d’erreur de type I est P0( ¯X ≥ 7), o`u ¯X = (X1 +X2 +X3 +X4)/4.
On sait que, sous H0, ¯X suit une distribution normale de moyenne µ= 6 et variance σ2 = 1/4, donc:
P0( ¯X ≥7) =P0(( ¯X −6)/σ ≥(7−6)/σ) =P(Z ≥2) = 0.0227, o`u Z = ( ¯X−6)/σ ∼ N(0,1).
(b) La probabilit´e d’erreur de type II est P1( ¯X ≤ 7). On sait que, sous H1, ¯X suit une distribution normale de moyenne µ= 7 et variance σ2 = 1/4, donc:
P1( ¯X ≤7) =P1(( ¯X−7)/σ ≤(7−7)/σ) =P(Z ≤0) = 0.5, o`u Z = ( ¯X−6)/σ ∼ N(0,1).
9.2 La valeur observ´ee de la statistique de test est z0 = ((¯x−µ)/(σ/√
n)) = (147.4−160)/(6/√
31) =−11.69.
Pour r´ealiser un test bilat´eral au niveau 1%, nous consid´erons les percentiles z0
.995 =
2.575 et z0
.005 = −2.575. Comme z0 =−11.69 n’est pas dans l’intervalle (−2.575,2.575), l’hypoth`ese nulle H0 :µ= 160cm est rejet´ee.
