Solutions des exercices du Chapitre 9, deuxi` eme
9.1 D´efinissons la statistique T comme le nombre de r´eponses correctes aux 20 questions.
Donc T =P20
i=1Xi, o`u Xi vaut 1 si la r´eponse `a la question i est juste et 0 sinon. T suit une distribution binomiale B(n= 20, p). Consid´erons l’hypoth`ese nulle H0 : “le candidat devine les r´eponses”; en d’autres termesH0 :p= 1/4. Consid´erons aussi l’alternativeH1 :
“le candidat a des connaissances”, c’est `a dire H1 :p >1/4.
(a) La probabilit´e cherch´ee est donc:
P
20
X
i=1
Xi ≥9
!
= 1−P
20
X
i=1
Xi≤8
!
= 1−
8
X
k=0
20 k
(1/4)k(3/4)20−k = 1−0.9591 = 0.05.
Pour calculer la quantit´eP8
k=0 20
k
(1/4)k(3/4)20−k, on peut utiliser R et taper:
pbinom(8,20,0.25).
(b) Un test de niveau 5% est d´efini par la r`egle: “rejeter H0 lorsque T >9”.
(c) Il s’agit d’une erreur de type I.
9.2 Calculons la P-value du test de H0 :p= 0.4 contre H1 :p <0.4:
P0(K ≤8) =
8
X
i=0
P(K =i)≈0.585.
On s’int´eresse `a P(K ≤ 8), car des valeurs tr`es petites de K sugg`erent de rejeter H0 en faveur deH1. Comme 0.585 n’est pas une petite probabilit´e (largement sup´erieure `a 5%), nous ne rejetons pas H0. (0.585 est la probabilit´e, si H0 est vraie, d’observer 8 ou encore moins de fumeurs dans un ´echantillon de 20.)
Au passage, il ´etait ´evident que nous ne pouvions pas rejeter H0, puisque la proportion de fumeurs observ´ee correspond `a exactement 40% (8 = 40% de 20). On constate que le test confirme cela.
