Les relations de Lambert Michel Waldschmidt
Premi`ere relation de Lambert : 2
1·3 + 2
3·5+ 2
5·7 +· · ·= 1 C’est une s´erie t´elescopique : le membre de gauche s’´ecrit
1
1− 1 3
+
1
3 − 1 5
+
1
5 −1 7
+· · · Deuxi`eme relation de Lambert :
2
1·3 + 2
5·7 + 2
11·13+· · ·= π 4
On utilise le mˆeme argument pour voir que le membre de gauche s’´ecrit
1
1 − 1 3
+
1
5 −1 7
+
1
9− 1 11
+· · · Quand on remplace x par 1 dans la s´erie
arctanx= x 1 −x3
3 + x5 5 − x7
7 +x9 9 − x11
11 +· · · (1)
on trouve
π 4 = 1
1− 1 3+ 1
5− 1 7 +1
9 − 1 11 +· · ·
La relation (1) donnant la s´erie de l’arc tangente se v´erifie en d´erivant les deux membres : la d´eriv´ee est
1
1 +x2 = 1−x2+x4−x6+x8− · · ·
Elle ´etait connue du math´ematicien indien Madhava au 15`eme si`ecle, elle a
´
et´e red´ecouverte par James Gregory au 17`eme si`ecle.
R´ef´erence : J.P. Delahaye. Le fascinant nombre pi. Biblioth`eque Pour La Science (Diffusion Belin) 1997
