Biblioth`eque d’exercices

Biblioth` eque d’exercices

version 3, janvier 2002

recueil r´ealis´e par Arnaud Bodin

Afin de faciliter le travail de tous, voici la troisi`eme mouture de ce recueil d’exercices. L’esprit n’a pas chang´e : simplifier le concoctage des feuilles d’exercices par un simple «copier-coller».

Je n’ai pas saisi tous les exercices, je remercie vivement les«gros» contributeurs : - Franz Ridde ;

- Fran¸cois Gourio ; - Pierre-Yves Legall ; - Pascal Ortiz.

Sans oublier tous ceux qui m’ont fourni leurs feuilles d’exercices : Jean-Fran¸cois Barraud, C´ecile Drouet, Olivier Gineste, Vincent Guirardel, Jean-Marc H´ecart, Jean-Marie Lescure, Sylvain Maillot, Nicolas Marco, Bertrand Monthubert, Nadja Rebinguet, Sandrine Roussel, Marie- Hel`ene Vignal. Qu’ils et elles en soient tous remerci´es.

La «biblioth`eque» s’agrandie encore : environ 1500 exercices. Les fichiers sources sont dispo- nibles en L<sup>A</sup>TEX2ε, et r´ecup´erables `a l’adresse suivante :

http ://fermat.ups-tlse.fr/∼bodin/

Certains exercices sont corrig´es (environ 10%), ils sont signal´es par le symbole c°, cependant les corrections ne sont disponibles que pour la version ´electronique. Vous pouvez contribuer `a ce recueil en m’envoyant vos fichiers :

bodin@picard.ups-tlse.fr ou abodin@crm.es

Donc n’h´esitez pas `a taper vos feuilles, ce sera fait une fois pour toutes et pour tous ! Arnaud Bodin

Sommaire

I ALG` EBRE 1 1

1 Nombres complexes 1

2 Logique, ensembles, raisonnements 6

3 Injection, surjection, bijection 11

4 Relation d’´equivalence, relation d’ordre 14

5 D´enombrement 15

6 Arithm´etique dansZ 18

7 Polynˆomes 23

8 Fractions rationnelles 28

II ANALYSE 1 29

9 Propri´et´es deR 29

10 Suites 33

11 Limites de fonctions 40

12 Continuit´e et ´etude de fonctions 44

13 D´erivabilit´e 50

14 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses 55

15 Calculs d’int´egrales 58

16 ´Equations diff´erentielles 65

III ALG` EBRE 2 70

17 Espaces vectoriels 70

18 Applications lin´eaires 73

19 Espaces vectoriels de dimension finie 78

20 Matrices 83

21 D´eterminants 90

IV ANALYSE 2 94

22 Suites : compl´ements 94

23 Continuit´e et comparaison de fonctions 95

24 D´erivabilit´e 97

25 D´eveloppements limit´es 99

V ALG` EBRE 3 108

27 Groupes : g´en´eralit´es 108

28 Anneaux et corps 112

29 Groupes finis 116

30 Groupes quotients 120

31 Espaces euclidiens 122

32 Endomorphismes particuliers 129

33 Polynˆomes d’endomorphismes 134

34 R´eduction d’endomorphismes : diagonalisation 137

35 R´eduction d’endomorphismes : autres r´eductions 144

VI ANALYSE 3 152

36 Fonctions convexes 152

37 Notions de topologie 153

38 Fonctions de deux variables 159

39 Espaces m´etriques et espaces vectoriels norm´es 166

40 Suites dansRⁿ 171

41 Int´egrales multiples 172

42 S´eries num´eriques 173

VII G´ EOM´ ETRIE 178

43 G´eom´etrie affine 178

44 Isom´etries vectorielles 180

45 G´eom´etrie affine euclidienne 181

46 Courbes param´etr´ees 182

47 Propri´et´es m´etriques des courbes planes 183

48 Coniques 184

49 Analyse vectorielle 185

VIII CORRECTIONS 187

50 ALG`EBRE 1 187

51 ANALYSE 1 202

52 ALG`EBRE 2 219

53 ANALYSE 2 224

54 ALG`EBRE 3 228

55 ANALYSE 3 236

56 G´EOM´ETRIE 236

IX QCM et FORMULAIRES 237

Premi` ere partie

ALG` EBRE 1

1 Nombres complexes

1.1 Forme cart´ esienne, forme polaire

Exercice 1^°c Mettre sous la forme a+ib (a, b∈R) les nombres : 3 + 6i

3−4i ;

µ1 +i 2−i

¶₂

+ 3 + 6i

3−4i ; 2 + 5i

1−i + 2−5i 1 +i .

Exercice 2 Ecrire les nombres complexes suivants sous la forme´ a+ib (a, b∈R) : 5 + 2i

1−2i ; Ã

−1 2+i

√3 2

!₃

; (1 +i)⁹ (1−i)⁷. Exercice 3 Repr´esenter sous forme trigonom´etrique les nombres :

1 +i ; 1 +i√

3 ; √

3 +i ; 1 +i√

√ 3 3−i . Exercice 4^°c Etablir les ´egalit´es suivantes :´

1. (cos(π/7) +isin(π/7))(¹⁻ⁱ₂^√3)(1 +i) =√

2(cos(5π/84) +isin(5π/84)), 2. (1−i)(cos(π/5) +isin(π/5))(√

3−i) = 2√

2(cos(13π/60) +isin(13π/60)), 3. ^√2(cos(π/12)+isin(π/12))

1+i = ^√3−i₂ .

Exercice 5^°c Calculer le module et l’argument deu= ^√6−i₂^√2 etv = 1−i. En d´eduire le module et l’argument de w= ^u_v.

Exercice 6 Ecrire sous la forme partie r´eelle-partie imaginaire, puis sous la forme module-´ argument le nombre complexe :

Ã

1 +i−√

3(1−i) 1 +i

!₂ .

Exercice 7^°c D´eterminer le module et l’argument des nombres complexes : e^eiα et e^iθ+e^2iθ.

Exercice 8^°c D´eterminer le module et l’argument de ¹⁺ⁱ_1−i. Calculer (¹⁺ⁱ_1−i)³². Exercice 9 Calculer (1 +i√

3)⁵+ (1−i√

3)⁵ et (1 +i√

3)⁵−(1−i√ 3)⁵. Exercice 10 Calculer le module et l’argument de z = _1+i¹_tanα.

1 Nombres complexes 2

Exercice 11 Calculer les puissances n-i`emes des nombres complexes : z₁ = 1 +i√

3

1 +i ; z₂ = 1 +j ; z₃ = 1 +itanθ 1−itanθ. Exercice 12 Comment choisir l’entier naturelnpour que (√

3+i)ⁿsoit un r´eel ? un imaginaire ? Exercice 13^°c Soit z un nombre complexe de module ρ, d’argument θ, et soitz son conjugu´e.

Calculer (z+z)(z²+z²). . .(zⁿ+zⁿ) en fonction de ρ etθ.

Exercice 14 (partiel novembre 88)^°c

Soient α et β deux nombres r´eels. Mettre le nombre complexe z = e^iα +e^iβ sous forme trigo- nom´etrique z =ρe^iγ (indication : poser u= ^α+β₂ , v = ^α−β₂ ).

En d´eduire la valeur de _n X

p=0

C_n^pcos[pα+ (n−p)β].

Exercice 15 Mettre sous forme trigonom´etrique 1+e^iθo`uθ∈]−π, π[. Donner une interpr´etation g´eom´etrique.

Exercice 16 Montrer que si |z| 6 k < 1 alors 1− k 6 |1 +z| 6 1 +k. Faire un dessin et montrer qu’il peut y avoir ´egalit´e.

Exercice 17 Montrer alg´ebriquement et g´eom´etriquement que si |z| = 1 alors |1 +z| > 1 ou

|1 +z²|>1.

Exercice 18 R´esoudre l’´equation exp(z) =√ 3 + 3i.

1.2 Racines carr´ ees, ´ equation du second degr´ e

Exercice 19^°c Calculer les racines carr´ees de 1, i, 3 + 4i, 8−6i, et 7 + 24i.

Exercice 20^°c

1. Calculer les racines carr´ees de ^1+i√₂. En d´eduire les valeurs de cos(π/8) et sin(π/8).

2. Calculer les valeurs de cos(π/12) et sin(π/12).

Exercice 21^°c Montrer que les solutions de az²+bz+c= 0 aveca, b, cr´eels, sont conjugu´ees.

Exercice 22^°c R´esoudre dans Cles ´equations suivantes :

z² +z+ 1 = 0 ; z²−(1 + 2i)z+i−1 = 0 ; z²−√

3z−i= 0 ; z²−(5−14i)z−2(5i+ 12) = 0 ; z²−(3 + 4i)z−1 + 5i= 0 ; 4z²−2z+ 1 = 0 ;

z⁴+ 10z²+ 169 = 0 ; z⁴+ 2z²+ 4 = 0.

Exercice 23 Trouver les racines complexes de l’´equation suivante : x⁴−30x²+ 289 = 0.

Exercice 24 Pour z ∈C\ {2i}, on pose

f(z) = 2z−i z−2i. 1. R´esoudre l’´equation z² =i, z ∈C.

2. R´esoudre l’´equation f(z) =z, z ∈C\ {2i}.

1.3 Racine n-i` eme

Exercice 25^°c Calculer la sommeS_n = 1 +z+z²+· · ·+zⁿ. Exercice 26^°c

1. R´esoudre z³ = 1 et montrer que les racines s’´ecrivent 1, j, j². Calculer 1 +j +j² et en d´eduire les racines de 1 +z+z² = 0.

2. R´esoudrezⁿ = 1 et montrer que les racines s’´ecrivent 1, ε, . . . , εⁿ⁻¹. En d´eduire les racines de 1 +z+z²+· · ·+zⁿ⁻¹ = 0. Calculer, pour p∈N, 1 +ε^p+ε^2p+· · ·+ε^(n−1)p.

Exercice 27 1. Calculer les racines n-i`emes de −i et de 1 +i.

2. R´esoudre z²−z+ 1−i= 0.

3. En d´eduire les racines de z²ⁿ−zⁿ+ 1−i= 0.

Exercice 28 Soit ε une racinen-i`eme de l’unit´e ; calculer S= 1 + 2ε+ 3ε<sup>2</sup>+· · ·+nε<sup>n−1</sup>. Exercice 29 R´esoudre, dans C, l’´equation (z+ 1)<sup>n</sup>= (z−1)<sup>n</sup>. Exercice 30 R´esoudre, dans C, l’´equation z<sup>n</sup>=z o`un >1.

Exercice 31 R´esoudre les ´equations suivantes : z⁶ = 1 +i√

3 1−i√

3 ; z⁴ = 1−i 1 +i√

3. Exercice 32 R´esoudre z⁶+ 27 = 0. (z ∈C)

Exercice 33 (partiel novembre 91)^°c

1. Soient z₁, z₂, z₃ trois nombres complexes distincts ayant le mˆeme cube.

Exprimerz₂ etz₃ en fonction de z₁.

2. Donner, sous forme polaire, les solutions dans C de : z⁶+ (7−i)z³−8−8i= 0.

(Indication : poserZ =z³; calculer (9 +i)²)

Exercice 34 R´esoudre dans C l’´equation 27(z−1)⁶+ (z+ 1)⁶ = 0.

Exercice 35 D´eterminer les racines quatri`emes de −7−24i.

1.4 G´ eom´ etrie

Exercice 36^°c D´eterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que : 1.

¯¯

¯¯z−3 z−5

¯¯

¯¯= 1, 2.

¯¯

¯¯z−3 z−5

¯¯

¯¯=

√2 2 .

1 Nombres complexes 4

Exercice 37 Montrer que pour u, v ∈C, on a|u+v|²+|u−v|² = 2(|u|²+|v|²).

Exercice 38 Soient z, z⁰ ∈C tels que Arg(z)−Arg(z⁰) = ^π₂. 1. Montrer que zz⁰+zz⁰ = 0.

2. Montrer que |z+z⁰|² =|z−z⁰|² =|z|²+|z⁰|².

Exercice 39 1. D´eterminer l’ensemble des pointsM du plan complexe, d’affixe z tels que : z(z−1) = z²(z−1).

2. D´eterminer l’ensemble des points M du plan complexe, d’affixe z tels que les images de 1,z, 1 +z² soient align´ees.

Exercice 40 Soit s= (1−z)(1−iz).

1. D´eterminer l’ensemble des images des nombres complexes z tel que s soit r´eel.

2. D´eterminer l’ensemble des images des nombres complexesz tel quessoit imaginaire pur.

Exercice 41 D´eterminer les nombres complexes z tels que le triangle ayant pour sommets les points d’affixesz, z², z³ soit rectangle au point d’affixe z.

Exercice 42 D´eterminer les nombres complexes z ∈ C^∗ tels que les points d’affixes z,¹_z et (1−z) soient sur un mˆeme cercle de centre O.

Exercice 43 R´esoudre dans C le syst`eme :

|z−1|61,|z+ 1|61.

Exercice 44 (Comment construire un pentagone r´egulier ?)^°c

Soit (A0, A1, A2, A3, A4) un pentagone r´egulier. On note O son centre et on choisit un rep`ere orthonorm’e (O,−→u ,−→v ) avec−→u =−−→

OA₀, qui nous permet d’identifier le plan avec l’ensemble des nombres complexes C.

A₀

A₃

A₄ A₁ A₂

O 1

i

1. Donner les affixes ω0, . . . , ω4 des points A0, . . . , A4. Montrer que ωk = ω1k pour k ∈ {0,1,2,3,4}. Montrer que 1 +ω₁+ω²₁+ω₁³+ω₁⁴ = 0.

2. En d´eduire que cos(^2π₅ ) est l’une des solutions de l’´equation 4z²+ 2z−1 = 0. En d´eduire la valeur de cos(^2π₅ ).

3. On consid`ere le point B d’affixe −1. Calculer la longueurBA₂ en fonction de sin₁₀^π puis de√

5 (on remarquera que sin₁₀^π = cos^2π₅ ).

4. On consid`ere le point I d’affixe ₂ⁱ, le cercle C de centre I de rayon ¹₂ et enfin le point J d’intersection de C avec la demi-droite [BI). Calculer la longueur BI puis la longueur BJ.

5. Application :Dessiner un pentagone r´egulier `a la r`egle et au compas. Expliquer.

1.5 Divers

Exercice 45 1. Calculer cos 5θ, cos 8θ, sin 6θ, sin 9θ, en fonction des lignes trigonom´etriques de l’angle θ.

2. Calculer sin³θ, sin⁴θ, cos⁵θ, cos⁶θ, `a l’aide des lignes trigonom´etriques des multiples entiers deθ.

Exercice 46 Exprimer (cos 5x)(sin 3x) en fonction de sinx et cosx.

Exercice 47 Montrer que tout nombre complexe z non r´eel de module 1 peut se mettre sous la forme ^1+ir_1−ir, o`u r∈R.

Exercice 48 Soit u, v des nombres complexes non r´eels tels que |u| = |v| = 1 et uv 6= −1.

Montrer que _1+uv^u+v est r´eel.

Exercice 49 Calculer les sommes suivantes : Xn

k=0

cos(kx) ; Xn

k=0

C_n^kcos(kx).

Exercice 50 (Entiers de Gauss)^°c Soit Z[i] ={a+ib ; a, b∈Z}.

1. Montrer que si α et β sont dansZ[i] alors α+β etαβ le sont aussi.

2. Trouver les ´elements inversibles de Z[i], c’est-`a-dire les ´el´ementsα ∈Z[i] tels qu’il existe β ∈Z[i] avec αβ = 1.

3. V´erifier que quel que soit ω∈C il existe z ∈Z[i] tel que|ω−z|<1.

4. Montrer qu’il existe sur Z[i] une division euclidienne, c’est-`a-dire que, quels que soientα etβ dans Z[i] il existeq etr dans Z[i] v´erifiant :

α=βq+r avec |r|<|β|.

(Indication : on pourra consid´erer le complexe ^α_β) Exercice 51 Montrer que ∀z ∈ C |<(z)|+|=(z)|

√2 6 |z| 6 |<(z)| +|=(z)|. ´Etudier les cas d’´egalit´e.

Exercice 52 Soit (a, b, c, d) ∈ R⁴ tel que ad−bc = 1 et c 6= 0. Montrer que si z 6= −d c alors

=(az+b

cz+d) = =(z)

|(cz+d)|².

2 Logique, ensembles, raisonnements 6

Exercice 53 Que dire de trois complexes a, b, cnon nuls tels que |a+b+c|=|a|+|b|+|c|.

Exercice 54 1. ´Etudier la suite (z_n)_n∈N d´efinie par : z₀ = 4, z_n+1 =f(z_n) o`u f est l’appli- cation de C sur lui-mˆeme d´efinie par :

∀z ∈C, f(z) =i+ 1

4(1−i√ 3)z.

Indication : on commencera par rechercher les coordonn´ees cart´esiennes de l’unique point α tel que f(α) =α, puis on s’int´eressera `a la suite (x_n)_n∈N d´efinie par :

∀n ∈N, xn =zn−α.

2. On pose ∀n ∈N, l_n=|z_n+1−z_n|. Calculer

n→∞lim Xn

k=0

l_k et interpr´eter g´eom´etriquement.

2 Logique, ensembles, raisonnements

2.1 Logique

Exercice 55 Soient R etS des relations. Donner la n´egation de R⇒S.

Exercice 56^°c D´emontrer que (1 = 2)⇒(2 = 3).

Exercice 57 Soient les quatre assertions suivantes :

(a) ∃x∈R∀y ∈R x+y >0 ; (b) ∀x∈R ∃y∈R x+y >0 ; (c) ∀x∈R ∃y∈R x+y >0 ; (d) ∃x∈R∀y ∈R y² > x.

1. Les assertions a,b, c, d sont-elles vraies ou fausses ? 2. Donner leur n´egation.

Exercice 58^°c Soit f une application deRdans R. Nier, de la mani`ere la plus pr´ecise possible, les ´enonc´es qui suivent :

1. Pour tout x∈R f(x)61.

2. L’application f est croissante.

3. L’application f est croissante et positive.

4. Il existe x∈R⁺ tel que f(x)60.

On ne demande pas de d´emontrer quoi que ce soit, juste d’´ecrire le contraire d’un ´enonc´e.

Exercice 59 Compl´eter les pointill´es par le connecteur logique qui s’impose : ⇔, ⇐, ⇒. 1. x∈R x² = 4 . . . x= 2 ;

2. z ∈C z =z . . . z ∈R; 3. x∈R x=π . . . e^2ix = 1.

Exercice 60^°c Dans R², on d´efinit les ensembles F₁ = {(x, y) ∈ R², y 6 0} et F₂ ={(x, y) ∈ R², xy >1, x>0}. ´Evaluer les propositions suivantes :

1. ∀ε∈]0,+∞[ ∃M₁ ∈F₁∃M₂ ∈F₂ / ||−−−−→

M₁M₂||< ε 2. ∃M1 ∈F1∃M2 ∈F2 / ∀ε ∈]0,+∞[ ||−−−−→

M1M2||< ε 3. ∃ε∈]0,+∞[ / ∀M1 ∈F1∀M2 ∈F2 ||−−−−→

M1M2||< ε 4. ∀M₁ ∈F₁∀M₂ ∈F₂ ∃ε∈]0,+∞[ / ||−−−−→

M₁M₂||< ε Quand elles sont fausses, donner leur n´egation.

Exercice 61 Nier la proposition : “tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux bleus gagneront au loto et prendront leur retraite avant 50 ans”.

Exercice 62 Ecrire la n´egation des assertions suivantes o`u´ P, Q, R, S sont des propositions.

1. P ⇒Q, 2. P et non Q, 3. P et (Qet R), 4. P ou (Q et R),

5. (P et Q) ⇒ (R⇒S).

Exercice 63^°c Nier les assertions suivantes :

1. tout triangle rectangle poss`ede un angle droit ; 2. dans toutes les ´ecuries, tous les chevaux sont noirs ;

3. pour tout entier x, il existe un entier y tel que, pour tout entier z, la relation z < x implique le relationz < x+ 1 ;

4. ∀ε >0 ∃α >0 / |x−7/5|< α⇒ |5x−7|< ε.

Exercice 64 (Le missionnaire et les cannibales)

Les cannibales d’une tribu se pr´eparent `a manger un missionnaire. D´esirant lui prouver une derni`ere fois leur respect de la dignit´e et de la libert´e humaine, les cannibales proposent au missionnaire de d´ecider lui-mˆeme de son sort en faisant une courte d´eclaration : si celle-ci est vraie, le missionnaire sera rˆoti, et il sera bouilli dans le cas contraire. Que doit dire le missionnaire pour sauver sa vie ? (d’apr`es Cervant`es)

Exercice 65 La proposition ¡

P ∧QV(¬P)∨Q¢

est-elle vraie ?

Exercice 66 On suppose que la proposition P est vraie ainsi que les propositions suivantes : 1. (¬Q)∧P V¬S.

2. SV(¬P)∨Q.

3. P VR∨S.

4. S∧QV¬P. 5. R∧ ¬(S∨Q)VT. 6. RV(¬P)∨(¬Q).

La proposition T est-elle vraie ?

Exercice 67 Ecrire la n´egation des phrases suivantes :

2 Logique, ensembles, raisonnements 8 1. (∀x)(∃n)/(x6n).

2. (∃M)/(∀n)(|u_n|6M).

3. (∀x)(∀y)(xy=yx).

4. (∀x)(∃y)/(yxy⁻¹ =x).

5. (∀ε >0)(∃N ∈N)/(∀n>N)(|un|< ε).

6. (∀x∈R)(∀ε >0)(∃α >0)/(∀f ∈ F)(∀y∈R)(|x−y|< αV|f(x)−f(y)|< ε).

Exercice 68 Comparer les diff´erentes phrases (sont-elles ´equivalentes, contraires, quelles sont celles qui impliquent les autres...)

1. (∀x)(∃y)/(x6y).

2. (∀x)(∀y)(x6y).

3. (∃x)(∃y)/(x6y).

4. (∃x)/(∀y)(x6y).

5. (∃x)/(∀y)(y < x).

6. (∃x)(∃y)/(y < x).

7. (∀x)(∃y)/(x=y).

Exercice 69 SiP(x) est une proposition d´ependant dex∈X, on noteP ={x∈X/P(x) est vraie}.

Exprimer en fonction deP etQ les ensembles ¬P , P ∧Q, P ∨Q, P VQ, P ⇔Q.

Exercice 70 Montrer que ∀ε >0 ∃N ∈Ntel que (n >N V2−ε < ²ⁿ⁺¹_n+2 <2 +ε).

2.2 Ensembles

Exercice 71 Montrer que ∅ ⊂X, pour tout ensemble X.

Exercice 72 Montrer par contraposition les assertions suivantes, E ´etant un ensemble : 1. ∀A, B ∈ P(E) (A∩B =A∪B)⇒A=B,

2. ∀A, B, C ∈ P(E) (A∩B =A∩C et A∪B =A∪C)⇒B =C.

Exercice 73^°c Soit A, B deux ensembles, montrer{(A∪B) = {A∩{B et{(A∩B) = {A∪{B. Exercice 74^°c Soient E et F deux ensembles, f :E →F. D´emontrer que :

∀A, B ∈ P(E) (A⊂B)⇒(f(A)⊂f(B)),

∀A, B ∈ P(E) f(A∩B)⊂f(A)∩f(B),

∀A, B ∈ P(E) f(A∪B) =f(A)∪f(B),

∀A, B ∈ P(E) f⁻¹(A∪B) =f⁻¹(A)∪f⁻¹(B),

∀A∈ P(F) f⁻¹(F \A) =E \f⁻¹(A).

Exercice 75 Soient E un ensemble et A, B, C trois parties de E telles que A∪B =A∪C et A∩B =A∩C. Montrer queB =C.

Exercice 76 Soient E un ensemble et A, B, C trois parties de E.

Montrer que (A∪B)∩(B ∪C)∩(C∪A) = (A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A).

Exercice 77 Donner les positions relatives de A, B, C ⊂E si A∪B =B∩C.

Exercice 78 Est-il vrai que P(A∩B) =P(A)∩ P(B) ? Et P(A∪B) =P(A)∪ P(B) ? Exercice 79 Montrer que A∩B =A∩C ⇔A∩{B =A∩{C.

Exercice 80 Donner la liste des ´el´ements de P(P({1,2})).

Exercice 81 Soient A, B ⊂E. R´esoudre les ´equations `a l’inconnue X ⊂E 1. A∪X =B.

2. A∩X =B.

Exercice 82 Soient E, F, G trois ensembles. Montrer que (E×G)∪(F ×G) = (E∪F)×G.

Exercice 83 Soient E, F, G, H quatre ensembles. Comparer les ensembles (E×F)∩(G×H) et (E∩G)×(F ∩H).

Exercice 84 Soit E l’ensemble des fonctions de N dans {1,2,3}. Pour i = 1,2,3 on pose A_i ={f ∈E/f(0) = i}. Montrer que les A_i forment une partition de E.

2.3 Absurde et contrapos´ ee

Exercice 85 Montrer que √ 2∈/ Q.

Exercice 86 Soit X un ensemble et f une application de X dans l’ensembleP(X) des parties de X. On note A l’ensemble des x ∈ X v´erifiant x /∈ f(x). D´emontrer qu’il n’existe aucun x∈X tel que A=f(x).

Exercice 87^°c Soit (f_n)_n∈N une suite d’applications de l’ensemble Ndans lui-mˆeme. On d´efinit une application f de N dans N en posant f(n) = f_n(n) + 1. D´emontrer qu’il n’existe aucun p∈N tel que f =f_p.

Exercice 88^°c

1. Soit p₁, p₂, . . . , p_r r nombres premiers. Montrer que l’entier N = p₁p₂. . . p_r + 1 n’est divisible par aucun des entiers p_i.

2. Utiliser la question pr´ec´edente pour montrer par l’absurde qu’il existe une infinit´e de nombres premiers.

2.4 R´ ecurrence

Exercice 89 D´emontrer, en raisonnant par r´ecurrence, que 10⁶ⁿ⁺²+ 10³ⁿ⁺¹+ 1 est divisible par 111 quel que soitn ∈N. (Indication : 1000 = 9×111 + 1 ).

Exercice 90 Montrer : 1.

Xn

k=1

k= n(n+ 1)

2 ∀n∈N^∗. 2.

Xn

k=1

k² = n(n+ 1)(2n+ 1)

6 ∀n ∈N^∗.

Exercice 91 En quoi le raisonnement suivant est-il faux ? Soit P(n) :n crayons de couleurs sont tous de la mˆeme couleur.

2 Logique, ensembles, raisonnements 10 – P(1) est vraie car un crayon de couleur est de la mˆeme couleur que lui-mˆeme.

– Supposons P(n). Soitn+ 1 crayons. On en retire 1. Lesn crayons restants sont de la mˆeme couleur par hypoth`ese de r´ecurrence.

Reposons ce crayon et retirons-en un autre ; les n nouveaux crayons sont `a nouveau de la mˆeme couleur. Le premier crayon retir´e ´etait donc bien de la mˆeme couleur que les n autres.

La proposition est donc vraie au rang n+ 1.

– On a donc d´emontr´e que tous les crayons en nombre infini d´enombrable sont de la mˆeme couleur.

Exercice 92^°c Soit la suite (xn)n∈N d´efinie par x0 = 4 et xn+1 = 2x²_n−3 x_n+ 2 . 1. Montrer que : ∀n ∈N x_n >3.

2. Montrer que : ∀n ∈N x_n+1−3> ³₂(x_n−3).

3. Montrer que : ∀n ∈N x_n >¡₃

2

¢_n + 3.

4. La suite (x_n)_n∈N est-elle convergente ? Exercice 93^°c

1. Dans le plan, on consid`ere trois droites ∆1,∆2,∆3 formant un “vrai” triangle : elles ne sont pas concourantes, et il n’y en a pas deux parall`eles. Donner le nombreR₃ de r´egions (zones blanches) d´ecoup´ees par ces trois droites.

2. On consid`ere quatre droites ∆<sub>1</sub>, . . . ,∆<sub>4</sub>, telles qu’il n’en existe pas trois concourantes, ni deux parall`eles. Donner le nombre R₄ de r´egions d´ecoup´ees par ces quatre droites.

3. On consid`eren droites ∆<sub>1</sub>, . . . ,∆<sub>n</sub>, telles qu’il n’en existe pas trois concourantes, ni deux parall`eles. Soit Rn le nombre de r´egions d´elimit´ees par ∆1. . .∆n, et Rn−1 le nombre de r´egions d´elimit´ees par ∆₁. . .∆_n−1. Montrer que R_n =R_n−1+n.

4. Calculer par r´ecurrence le nombre de r´egions d´elimit´ees parndroites en position g´en´erale, c’est-`a-dire telles qu’il n’en existe pas trois concourantes ni deux parall`eles.

Exercice 94 Soit X un ensemble. Pourf ∈ F(X, X), on d´efinitf⁰ =idet par r´ecurrence pour n∈N fⁿ⁺¹ =fⁿ◦f.

1. Montrer que ∀n∈N fⁿ⁺¹ =f◦fⁿ.

2. Montrer que si f est bijective alors ∀n∈N (f⁻¹)ⁿ = (fⁿ)⁻¹. Exercice 95 Montrer que

∀n >2, n!6

µn+ 1 2

¶_n .

2.5 Divers

Exercice 96 Quels sont les entiers n tels que 4ⁿ6n! ? Exercice 97 Montrer que :

∀n>2, u_n= Xn

k=1

1 k ∈/ N.

Indication : montrer que

∀n >2,∃(p_n, q_n)∈(N^∗)², u_n= 2p_n+ 1 2q_n .

Exercice 98 Soit f :N^∗ →N^∗ une application v´erifiant :

∀n∈N^∗, f(n+ 1)> f(f(n)).

Montrer que f = Id_N^∗. Indications : que dire de k ∈ N tel que f(k) = inf{f(n)|n ∈ N}? En d´eduire que ∀n >0, f(n)> f(0). Montrer ensuite que ∀n ∈N, on a : ∀m > n, f(m)> f(n) et

∀m 6 n, f(m) > m (on pourra introduire k tel que f(k) soit le plus petit entier de la forme f(m) avec m > n). En d´eduire que f est strictement croissante et qu’il n’existe qu’une seule solution au probl`eme. Laquelle ?

Exercice 99 Pour p∈ {1,2,3} on noteS_p = Pⁿ

k=0

k^p.

1. A l’aide du changement d’indice i=n−k dans S₁, calculer S₁. 2. Faire de mˆeme avec S₂. Que se passe-t-il ?

3. Faire de mˆeme avec S₃ pour l’exprimer en fonction de n et S₂. 4. En utilisant l’exercice 90, calculer S₃.

Exercice 100 Pour calculer des sommes portant sur deux indices, on a int´erˆet `a repr´esenter la zone du plan couverte par ces indices et `a sommer en lignes, colonnes ou diagonales... Calculer :

1. P

16i6j6n

ij.

2. P

16i<j6n

i(j −1).

3. P

16i<j6n

(i−1)j.

4. P

16i6j6n

(n−i)(n−j).

5. P

16p,q6n(p+q)² (on poserak =p+q).

3 Injection, surjection, bijection

3.1 Application

Exercice 101 Soient f :R→R etg :R→R telles quef(x) = 3x+ 1 et g(x) =x²−1. A-t-on f◦g =g◦f?

3.2 Injection, surjection

Exercice 102 Donner des exemples d’applications de R dans R (puis de R² dans R) injective et non surjective, puis surjective et non injective.

Exercice 103 Soit f :R→Rd´efinie par f(x) =x³−x.

f est-elle injective ? surjective ? D´eterminer f⁻¹([−1,1]) et f(R+).

Exercice 104 Les fonctions suivantes sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ? f :Z→Z, n7→2n ; f :Z→Z, n7→ −n

f :R→R, x7→x² ; f :R→R₊, x7→x² f :C→C, z 7→z².

3 Injection, surjection, bijection 12

Exercice 105 Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ? 1. f :

(

N→N n 7→n+ 1 2. g :

(Z→Z

n7→n+ 1 3. h:

(

R² →R²

(x, y)7→(x+y, x−y) 4. k:

(R− {1} →R

x7→ ^x+1_x−1

Exercice 106 Soit f :R→Rd´efinie par f(x) = 2x/(1 +x²).

1. f est-elle injective ? surjective ? 2. Montrer que f(R) = [−1,1].

3. Montrer que la restriction g : [−1,1]→[−1,1] g(x) =f(x) est une bijection.

4. Retrouver ce r´esultat en ´etudiant les variations de f.

Exercice 107 L’application f : C \ {0} → C, z 7→ z + 1/z est-elle injective ? surjective ? bijective ?

Donner l’image par f du cercle de centre 0 et de rayon 1.

Donner l’image r´eciproque parf de la droite iR.

Exercice 108^°c On consid`ere quatre ensembles A, B, C et D et des applications f : A → B, g :B →C,h:C →D. Montrer que :

g◦f injective ⇒f injective, g◦f surjective ⇒g surjective.

Montrer que :

¡g◦f eth◦g sont bijectives ¢

⇔¡

f, g et h sont bijectives¢ . Exercice 109 Soit f :X →Y. Montrer que

1. ∀B ⊂Y f(f⁻¹(B)) =B∩f(X).

2. f est surjective ssi ∀B ⊂Y f(f⁻¹(B)) =B.

3. f est injective ssi ∀A⊂X f⁻¹(f(A)) =A.

4. f est bijective ssi ∀A⊂X f({A) = {f(A).

Exercice 110 Soit f :X →Y. Montrer que les trois propositions suivantes sont ´equivalentes : i. f est injective.

ii. ∀A, B ⊂X f(A∩B) = f(A)∩f(B).

iii. ∀A, B ⊂X A∩B =∅Vf(A)∩f(B) =∅.

Exercice 111 Soit f : X → Y.On note ˆf : (

P(X)→ P(Y)

A7→f(A) et ˜f : (

P(Y)→ P(X) B 7→f⁻¹(B) . Montrer que :

1. f est injective ssi ˆf est injective.

2. f est surjective ssi ˜f est injective.

Exercice 112 (Exponentielle complexe)^°c Si z =x+iy, (x, y)∈R², on pose e^z =e^x×e^iy. 1. D´eterminer le module et l’argument de e^z.

2. Calculer e^z+z0, e^z, e^−z,(e^z)ⁿ pourn ∈Z.

3. L’application exp :C→C, z7→e^z, est-elle injective ?, surjective ?

3.3 Bijection

Exercice 113 Soient a, b∈R aveca 6= 0, etf_a,b:R→Rtelle quef_a,b(x) = ax+b. D´emontrer quef_a,b est une permutation et d´eterminer sa r´eciproque.

Exercice 114 Soit f : [0,1]→[0,1] telle que f(x) =

(

x six∈[0,1]∩Q, 1−x sinon.

D´emontrer quef ◦f =id.

Exercice 115^°c Soit f : R → C t 7→ e^it. Montrer que f est une bijection sur un ensemble `a pr´eciser.

Exercice 116 On appelle demi-plan de Poincar´e l’ensemble P des nombres complexes z tels que Imz >0, etdisque unit´e l’ensembleDdes nombres complexesztels que|z|<1. D´emontrer quez 7→ ^z−i_z+i est une bijection de P surD.

Exercice 117^°c Soit f : [1,+∞[→[0,+∞[ telle que f(x) = x²−1.f est-elle bijective ?

Exercice 118 Soient A −→^f B −→^g C−→^h D. Montrer que si g◦f et h◦g sont bijectives alors f, g eth le sont ´egalement.

Exercice 119 Soient A −→^f B −→^g C −→^h A. Montrer que si h◦g◦f et g◦f ◦h sont injectives et f◦h◦g surjective alors f, g et h sont bijectives.

Exercice 120 Soit X un ensemble. Si A ⊂ X on note χ_A la fonction caract´eristique associ´ee.

Montrer que Φ :

(P(X)→ F(X,{0,1})

A7→χ_A est bijective.

Exercice 121 Soit E un ensemble non vide. On se donne deux parties A et B de E et on d´efinit l’applicationf :℘(E)→℘(E), X 7→(A∩X)∪(B∩X^c).Discuter et r´esoudre l’´equation f(X) = ∅. En d´eduire une condition n´ecessaire pour que f soit bijective.

On suppose maintenantB =A^c. Exprimerf `a l’aide de la diff´erence sym´etrique ∆. Montrer que f est bijective, pr´eciserf⁻¹.f est-elle involutive (i.e. f² =id) ? Quelle propri´et´e en d´eduit-on ?

4 Relation d’´equivalence, relation d’ordre 14

4 Relation d’´ equivalence, relation d’ordre

4.1 Relation d’´ equivalence

Exercice 122 1. SoitE =N×N, on d´efinitR par : (a, b)R(a⁰, b⁰)⇔a+b⁰ =b+a⁰. Montrer queR est une relation d’´equivalence. Identifier E/R.

2. Mˆemes questions avec E =Z×N^∗ et (p, q)R(p⁰, q⁰)⇔pq⁰ =p⁰q.

Exercice 123 Dans R² on d´efinit la relation R par : (x, y)R(x⁰, y⁰)⇔y=y⁰. 1. Montrer que R est une relation d’´equivalence.

2. D´eterminer la classe d’´equivalence de (x, y)∈R². Exercice 124^°c Dans Con d´efinit la relation R par :

zRz⁰ ⇔ |z|=|z⁰|.

1. Montrer que R est une relation d’´equivalence.

2. D´eterminer la classe d’´equivalence de z ∈C.

Exercice 125^°c Soit R une relation binaire sur un ensemble E, sym´etrique et transitive. Que penser du raisonnement suivant ?

“xRy⇒yRx car R est sym´etrique, or (xRy etyRx)⇒xRx car R est transitive,

donc R est r´eflexive.”

Exercice 126 Etudier la relation´ < d´efinie sur R^R (l’ensemble des applications de R dans R) par :

f<g ⇐⇒ ∃A >0,∀x∈R,|x|> A⇒f(x) = g(x).

Exercice 127 Montrer que la relation < d´efinie sur R par : x<y ⇐⇒xe^y =ye^x

est une relation d’´equivalence. Pr´eciser, pour x fix´e dans R, le nombre d’´el´ements de la classe dex modulo <.

4.2 Relation d’ordre

Exercice 128 La relation “divise” est-elle une relation d’ordre surN? surZ? Si oui, est-ce une relation d’ordre total ?

Exercice 129 Etudier les propri´et´es des relations suivantes. Dans le cas d’une relation d’´equivalence,´ pr´eciser les classes ; dans le cas d’une relation d’ordre, pr´eciser si elle est totale, si l’ensemble admet un plus petit ou plus grand ´el´ement.

1. Dans P(E) : AR₁B ⇔A⊂B ; AR₂B ⇔A∩B =∅.

2. DansZ:aR₃b⇔aetbont la mˆeme parit´e ; aR₄b ⇔ ∃n ∈N a−b = 3n ; aR₅b ⇔ a−b est divisible par 3.

Exercice 130 Soient (X,6) et (Y,6) deux ensembles ordonn´es (on note abusivement les deux ordres de la mˆeme fa¸con). On d´efinit sur X ×Y la relation (x, y) 6 (x⁰, y⁰) ssi (x < x⁰) ou (x = x⁰ et y 6 y⁰). Montrer que c’est un ordre et qu’il est total ssi X et Y sont totalement ordonn´es.

Exercice 131 Un ensemble est dit bien ordonn´e si toute partie non vide admet un plus petit

´el´ement.

1. Donner un exemple d’ensemble bien ordonn´e et un exemple d’ensemble qui ne l’est pas.

2. Montrer que bien ordonn´e implique totalement ordonn´e.

3. La r´eciproque est-elle vraie ?

Exercice 132 Soit (E,6) un ensemble ordonn´e. On d´efinit sur P(E)\ {∅} la relation R par XRY ssi (X =Y ou∀x∈X ∀y∈Y x6y). V´erifier que c’est une relation d’ordre.

Exercice 133 Montrer quea∗b= a+b

1 +ab est une l.c.i sur ]−1,1[ et d´eterminer ses propri´et´es.

5 D´ enombrement

5.1 Binˆ ome de Newton et C

Exercice 134 D´emontrer que si pest un nombre premier, p diviseC_p^k pour 16k 6p−1.

Exercice 135 En utilisant la fonction x7→(1 +x)ⁿ, calculer : Xn

k=0

C_n^k ; Xn

k=1

kC_n^k ; Xn

k=1

1 k+ 1C_n^k.

Exercice 136 D´emontrer que C_n^kC_n−k^p−k=C_p^kC_n^p (pour 06k 6p6n). En d´eduire que Xn

k=0

C_n^kC_n−k^p−k = 2^pC_n^p.

Exercice 137^°c En utilisant la formule du binˆome, d´emontrer que : 1. 2ⁿ+ 1 est divisible par 3 si et seulement si n est impair ; 2. 3²ⁿ⁺¹+ 2⁴ⁿ⁺² est divisible par 7.

Exercice 138 D´emontrer que C_n^p =C_n−1^p +C_n−1^p−1 pour 16p6n−1.

Exercice 139 Soient m, n ∈ N^∗ et p ∈ N. En utilisant la formule du binˆome, d´emontrer que m^2p+1+n^2p+1 est divisible parm+n.

Exercice 140^°c En utilisant la formule du binˆome montrer : (a)

Xn

k=0

(−1)^kC_n^k = 0 (b) Xn

k=0

k²C_n^k =n(n−1)2ⁿ⁻²+n2ⁿ⁻¹. Exercice 141^°c D´emontrer les formules suivantes :

1. C_n^m =C_m^n−m (on pourra utiliser le fait que P(E)−→ P(E)A7→A^c est une bijection.)

5 D´enombrement 16 2. C_n^m =C_n−1^m +C_n−1^m−1,

3. C_n^m =C_n−2^m + 2C_n−2^m−1+C_n−2^m−2.

Exercice 142 Soient E un ensemble non vide et X, Y une partition de E.

1. Montrer que l’application suivante est une bijection : P(E)−→ P(X)× P(Y)

A7→(A∩X, A∩Y) 2. Montrer que pour p, q, r∈N tel que r 6p+q on a :

X

i+j=r

C_pⁱC_q^j =C_p+q^r . 3. En d´eduire que :

Xn

k=0

(C_n^k)² =C_2nⁿ.

Exercice 143 Soit E un ensemble, a∈E et f :







P(E)→ P(E)

X 7→X∪ {a} si a /∈X X 7→X− {a} si a∈X 1. Montrer que f est une bijection.

2. On suppose d´esormais que E est fini et Card (E) = n. On pose P₀(E) l’ensemble des parties de E de cardinal pair et P₁(E) l’ensemble des parties de E de cardinal impair.

Montrer que Card (P₀(E)) = Card (P₁(E)).

3. Calculer ces cardinaux et en d´eduire la valeur de Pⁿ

k=0

(−1)^kC_n^k.

Exercice 144 En utilisant la formule du binˆome de Newton, montrer que Pⁿ

k=0

(−1)^kC_n^k = 0. En d´eduire la valeur de P

062k6nC_n^2k. Exercice 145 Soient 06p6n.

1. Montrer par r´ecurrence sur n que Pⁿ

k=p

C_k^p =C_n+1^p+1. 2. ´Ecrire ces ´egalit´es pour p= 2 et p= 3.

3. En d´eduire les sommes

S₂⁰ = 1.2 + 2.3 +. . .+ (n−1).n S₂ = 1²+ 2²+. . .+n² S₃⁰ = 1².2 + 2².3 +. . .+ (n−1)².n S₃ = 1³ + 2³+. . .+n³

5.2 Cardinal

Exercice 146 Montrer que Z est d´enombrable en utilisant l’application : φ :N→Z

(n7→2n−1 sin >0 ; n7→ −2n sinon.

Exercice 147^°c Pour A, B deux ensembles de E on note A∆B = (A∪B)\(A∩B). Pour E un ensemble fini, montrer :

CardA∆B = CardA+ CardB−2CardA∩B.

Exercice 148^°c Soit E un ensemble `a n ´el´ements, et A ⊂ E un sous-ensemble `a p ´el´ements.

Quel est le nombre de parties de E qui contiennent un et un seul ´el´ement de A?

Exercice 149 D´eterminer le nombre de mots distincts que l’on peut former avec 6 voyelles et 20 consonnes, chaque mot ´etant compos´e de 3 consonnes et 2 voyelles, en excluant les mots qui renferment 3 consonnes cons´ecutives.

Exercice 150 Soient A, A⁰, B, B⁰ quatre ensembles tels que :

Card (A) = Card (A⁰) =a et Card (B) = Card (B⁰) = b.

1. D´eterminer le nombre de bijections de A×B sur A⁰×B⁰.

2. Supposons maintenant que {A, B}, {A⁰, B⁰} forment deux partitions deE, un ensemble.

D´eterminer le nombre de bijections f :E −→E telles quef(A) =A⁰ etf(B) =B⁰. Exercice 151 Soient A et B deux sous ensembles finis d’un ensemble E.

1. Montrer que : Card (A∪B) = Card (A) + Card (B)−Card (A∩B).

2. Montrer par r´ecurrence que si (F_i)_16i6nest une famille de sous-ensembles finis de E alors : Card (

[n

i=1

F_i)6 Xn

i=1

Card (F_i) avec ´egalit´e si les F_i sont deux `a deux disjoints.

Exercice 152 Soient 1 6 k 6 n. D´eterminer le nombre de k-uplets (i₁, . . . , i_k) tels que 1 6 i1 < . . . < ik6n.

5.3 Divers

Exercice 153 1. (principe des bergers) SoientE, F deux ensembles avecF ensemble fini, et f une surjection de E surF v´erifiant :

∀y∈F, Card (f⁻¹(y)) =p

Montrer que E est alors un ensemble fini et Card (E) =pCard (F).

2. (principe des tiroirs) Soient α₁, α₂, . . . , α_p, p´elements distincts d’un ensembleE, r´epartis entre une famille de n sous-ensembles de E. Si n < p montrer qu’il existe au moins un ensemble de la famille contenant au moins deux ´el´ements parmi lesα_i.(on pourra raisonner par l’absurde)

6 Arithm´etique dans Z 18 Exercice 154 Montrer par r´ecurrence surn que siA₁, . . . , A_n ⊂E alors Card (A₁∪. . .∪A_n) =

Pn k=1

(−1)^k+1 P

16i1<...<ik6nCard (A_i1 ∩. . .∩A_ik).

Exercice 155 Soit p_n(k) le nombre de permutations de {1, ..., n} ayant k points fixes, montrer alors que :

Xn

k=0

kp_n(k) =n!.

Interpr´eter.

Exercice 156 Soit E un ensemble de cardinal nm ∈N^∗, o`u (n, m)∈ (N<sup>∗</sup>)<sup>2</sup>, et P<sub>n,m</sub>l’ensemble des partitions de E en n parties `a m´el´ements chacune. Montrer que :

N_n,m =card(P_n,m) = (nm)!

n!(m!)ⁿ. (Indication : on peut proc´eder par r´ecurrence.)

Exercice 157 L’histoire : n personnes apportent chacune un cadeau `a une fˆete, et chacun tire au sort un cadeau dans le tas form´e par tous les pr´esents apport´es. Quelle est la probabilit´e qu’au moins une personne reparte avec son cadeau ? Que devient cette probabilit´e quand le nombre de personnes devient tr`es grand, i.e. :n → ∞? (On remarquera que l’intuition met en

´evidence deux effets contradictoires : plus de personnes c’est plus de proba qu’une personne ait son cadeau car... il y a plus de personnes, mais c’est aussi plus de cadeaux, donc une proportion plus ´elev´ee de cadeaux “acceptables”).

SoitS_n =σ({1, . . . , n}). On dit que σ∈S_n est un d´erangement si∀i∈ {1, . . . , n} σ(i)6=i. On note Ai ={σ∈Sn/σ(i) =i} etDn l’ensemble des d´erangements.

1. Calculer Card (A_i).

2. Exprimer Sn−Dn en fonction des Ai.

3. En d´eduire Card (D_n) (on pourra utiliser l’exercice 154).

4. D´eterminer la limite de CardDn

CardS_n. (on rappelle que lim

n→+∞(1 +x+. . .+ ^x_n!ⁿ) = e^x).

Exercice 158 Soit E un ensemble de cardinal n,< une relation d’´equivalence sur E, avec k classes d’´equivalences etr couples (x, y)∈E² tels que x<y. Montrer que n² 6kr.

6 Arithm´ etique dans Z

6.1 Divisibilit´ e, division euclidienne

Exercice 159 Combien 15! admet-il de diviseurs ?

Exercice 160 Trouver le reste de la division par 13 du nombre 100¹⁰⁰⁰.

Exercice 161 Sachant que l’on a 96842 = 256×375 + 842, d´eterminer, sans faire la division, le reste de la division du nombre 96842 par chacun des nombres 256 et 375.

Exercice 162 Soient m >1 et n>2 des entiers ; montrer que : 1. n−1|n^m−1 ;