Exercice 1251 Etudier la continuit´e des fonctions d´efinies sur´ R2 par f1(x, y) = xy
x2+y2 si (x, y)6= (0,0),
f1(0,0) = 0.
f2(x, y) = x3+y3
x2+y2 si (x, y)6= (0,0),
f2(0,0) = 0.
Exercice 1252 (partiel 1999) 1. ´Etudier la continuit´e de la fonction f1 : R2 → R d´efinie par
f1(x, y) =
((sinx) (siny)
√|x|+√
|y| si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0).
2. Soit a >0 fix´e. ´Etudier la continuit´e de la fonction f2 :R2 →R d´efinie par f2(x, y) =
(|x|a|y|a
x2+y2 si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0).
3. ´Etudier la continuit´e de la fonctionf3 :R2 →R d´efinie par f3(x, y) =
(y−x2 si y > x2 0 si y6x2.
4. On d´efinit une fonction continue de l’ouvert U = {(x, y, z) ∈ R3 | xyz 6= 0} dans R en posant
f4(x, y, z) = (x2+y2 +z2) sin 1 x sin1
y cos1 z. Etudier la possibilit´e de prolonger´ f4 en une fonction continue sur R3. Exercice 1253 Prolonger par continuit´e la fonction g :
((R2)∗ →R
(x, y)7→xyln(x2+y2) .
38 Fonctions de deux variables 160
Exercice 1254 Soit f :
R2 →R
(x, y)7→x si |x|>|y|
(x, y)7→y si |x|<|y|
(x, y)7→0 si |x|=|y|
.
Etudier la continuit´e de´ f, l’existence des d´eriv´ees partielles et leur continuit´e.
Exercice 1255 Soit f :
R2 →R
(x, y)7→ sin(xy)|x|+|y| si (x, y)6= (0,0) (0,0)7→0
.
Etudier la continuit´e de´ f et l’existence des d´eriv´ees partielles.f est-elleC1?
Exercice 1256 Soit f :
R2 →R
(x, y)7→xyx2−y2
x2+y2 si (x, y)6= (0,0) (0,0)7→0
.
Etudier la continuit´e de´ f. Montrer que f est C1. Calculer les d´eriv´ees partielles secondes en (0,0). Que remarque-t-on ?
Exercice 1257 Soit f :R→Rd´erivable. Calculer les d´eriv´ees partielles de : g(x, y) = f(x+y) h(x, y) =f(x2+y2) k(x, y) = f(xy)
Exercice 1258 Soit f :R3 →Rd´erivable. On pose F(x, y, z) = f(x−y, y−z, z−x).
Calculer ∂F∂x +∂F∂y + ∂F∂z.
Exercice 1259 Soit f :R2 →Rune fonction C2. On pose g(x, y) =f(x2−y2,2xy).
Calculer 4(g) en fonction de 4(f).
Exercice 1260 Soit f :
R2 →R
(x, y)7→ (y−xx25)2+x6 si (x, y)6= (0,0) (0,0)7→0
.
Montrer quefadmet une d´eriv´ee en (0,0) suivant tout vecteur mais n’admet pas de d´eveloppement limit´e `a l’ordre 1 en (0,0).
Exercice 1261 Trouver le point du plan (2x−y+z = 16) le plus proche de l’origine.
Exercice 1262 D´eterminer les extremums de f(x, y) =xy(1−x2−y2) sur [0,1]2.
Exercice 1263 Soitf(x, y) = x2+xy+y2−3x−6y. Montrer quef admet au plus un extremum.
Ecriref(x, y) + 9 comme la somme de deux carr´es et en d´eduire que f admet−9 comme valeur minimale.
Exercice 1264 D´eterminer un triangle d’aire maximale inscrit dans un cercle donn´e.
Exercice 1265 Soit f(x, y) = (x2−y)(3x2−y).
Montrer que f admet un minimum local en 0 suivant tout vecteur de R2 mais n’admet pas de minimum local en (0,0).
Exercice 1266 Soit f : R2 →R
(x, y)7→xey+yex .
Montrer que (−1,−1) est le seul extremum possible. A l’aide d’un d´eveloppement limit´e de ϕ(h) = f(−1 +h,−1 +h) et deψ(h) = f(−1 +h,−1−h), montrer quef n’a pas d’extremum.
Exercice 1267 R´esoudre `a l’aide des coordonn´ees polaires l’´equation aux d´eriv´ees partielles : x∂f
∂x(x, y) +y∂f
∂y(x, y) =p
x2+y2 Exercice 1268 R´esoudre l’´equation des cordes vibrantes : ∂2f
∂x2 = ∂2f
∂y2 `a l’aide du changement de variables u= x+y2 etv = x−y2 (on suppose que f est C2).
Exercice 1269 Soient α >0 et f : R2 →Rd´efinie par
f(x, y) = |x|αy
x2+y4 si (x, y)6= (0,0) f(0,0) = 0
1. (a) Montrer que
∀(x, y)6= (0,0) |f(x, y)|6¡
x2+y4¢2α−3
4 . (b) Calculer lim
y→0 y6= 0
¯¯f(y2, y)¯¯.
(c) ´Etudier la continuit´e de f en (0,0).
2. (a) Montrer que
∀(x, y)6= (0,0) |f(x, y)|
px2+y2 6|x|α−2. (b) Calculer lim
x→0 x6= 0
|f(x, x)|
√2|x| .
(c) ´Etudier la diff´erentiabilit´e de f en (0,0).
Exercice 1270 Soientf : R2 →Rdiff´erentiable etg : R→Rd´efinie parg(x) =f¡
exsinx,ln(1 +x2)¢ . Montrer que g est d´erivable sur R et calculer sa d´eriv´ee en fonction des d´eriv´ees partielles de
f.
Exercice 1271 SoientU ={(x, y)∈R2, x > 0}etV =]0,+∞[×]−π2,π2[. On d´efinit la fonction
Ψ : V → R2
(r, θ) 7→ (rcosθ, rsinθ)
1. Montrer que U et V sont des ouverts de R2 et que Ψ est de classe C1 et bijective de V surU. D´eterminer Ψ−1.
2. Soit f : U →Rde classe C1 sur U. On pose
F(r, θ) =f ◦Ψ(r, θ) = f(rcosθ, rsinθ).
(a) Montrer que f est de classeC1 surU et calculer ∂F∂r et ∂F∂θ en fonction de ∂f∂x et ∂f∂y.
38 Fonctions de deux variables 162
(b) Montrer que f v´erifie l’´equation (E) a∂f
∂x(a, b) +b∂f
∂y(a, b) =√
a2+b2arctan µb
a
¶
∀(a, b)∈U si et seulement si F v´erifie l’´equation
(E0) ∂F
∂r(r0, θ0) =θ0 ∀(r0, θ0)∈V.
(c) D´eterminer toutes les fonctionsf : U →Rde classeC1 surU qui v´erifient l’´equation (E).
Exercice 1272 Soit D = {(x, y) ∈ R2, x > 0}. On cherche les fonctions f ∈ C1(D,R) qui v´erifient
(E) x∂f
∂x +y∂f
∂y = 0 ∀(x, y)∈D.
1. V´erifier que ϕ(x, y) =y/x est solution de (E).
2. Soit g ∈ C1(R,R). Montrer queg◦ϕ est solution de (E).
3. Soit f une solution de (E). Montrer que f(u, uv) ne d´epend que de v.
4. Donner l’ensemble des solutions de (E).
Exercice 1273 D´eterminer les fonctions f ∈ C1(R2,R) v´erifiant
∂f
∂x − ∂f
∂y = 0 ∀(x, y)∈R2.
On pourra effectuer le changement de variables u=x+y, v=x−y.
Exercice 1274 Soit f une fonction r´eelle de classe C2 sur un ouvert Ω de R2.
1. Rappeler une condition n´ecessaire pour que f pr´esente un extremum local en (x0, y0).
Dans la suite de l’exercice, a = (x0, y0) v´erifie cette condition, c’est-`a-dire est un point critiquede f. On pose
A= ∂2f
∂x2(a), B = ∂2f
∂x∂y(a), C = ∂2f
∂y2(a), Q(x, y) =Ax2+ 2Bxy+Cy2, ∆ =B2−AC, R(t) =At2+ 2Bt+C, S(t) =Ct2+ 2Bt+A.
2. On suppose ∆ <0 et A(ou C)>0.
(a) Montrer que ∀t ∈R, R(t)>δ etS(t)>δ pour un certain δ >0.
(b) On posex=rcosθ,y =rsinθ, avecr =p
x2+y2, et on suppose que sinθ.cosθ6= 0.
Montrer successivement :
Q(x, y)>r2δsin2θ, Q(x, y)>r2δcos2θ, Q(x, y)> r22δ.
En d´eduire que
∀(x, y) Q(x, y)> r2
2Inf(δ,2A,2C).
(c) Montrer que a est un point de minimum local strict de f. On ´ecrira pour cela la formule de Taylor-Young pour f en ce point.
3. On suppose ∆ <0 et A(ou C)<0.
Montrer que (x0, y0) est un point de maximum local strict def. 4. On suppose maintenant ∆>0.
(a) Montrer qu’il existe t1, t2 ∈R tels que S(t1)>0 et S(t2)<0.
(b) Soientθ1, θ2 ∈R tels que tanθ1 =t1 et tanθ2 =t2. En examinant les fonctions g(t) :=f(x0+tcosθ1, y0 +tsinθ1), h(t) :=f(x0 +tcosθ2, y0+tsinθ2) pour t ∈ R assez petit, montrer que a n’est ni un point de maximum local, ni un point de minimum local de f.
5. Dessiner l’allure du graphe de f au voisinage du point (a, f(a)) dans les trois cas ´etudi´es ci-dessus (questions 1, 3 et 4).
6. Que peut-on dire en g´en´eral quand ∆ = 0 ? Pour r´epondre `a cette question, on pourra s’appuyer sur l’´etude des deux cas suivant au voisinage de (0,0) :
f1(x, y) =x2+x4+y4 et f2(x, y) = x2−y4. Exercice 1275 Soit f :R2 →Rla fonction d´efinie par
f(x, y) = ((x−2)2+y2−4)((x−1)2+y2 4 −1).
– Tracer rapidement la courbeC d’´equation f(x, y) = 0.
– En quels points deC la relation f(x, y) = 0 permet-elle de d´efinir une fonction implicite de la forme y=φ(x) ?
Exercice 1276 Montrer que les relations propos´ees d´efinissent au voisinage du couple (a, b) indiqu´e une fonction implicite y=φ(x).
Donner un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 3 deφ ena.
– f(x, y) =x3+y3−3xy−1 = 0 (a, b) = (0,1).
– f(x, y) = 2ex+y−1+ ln(x−y)−2x+y3 (a, b) = (1,0).
Exercice 1277 Montrer que la relation
f(x, y, z) =x3 +y3+z3−2z(x+y)−2x+y−2z−1 = 0
d´efinit au voisinage de (0,0,−1) une fonction implicitez =φ(x, y). Donner un d´eveloppement limit´e de φ `a l’ordre 2 en (0,0).
Exercice 1278 Existe-t-il un triangle d’aire maximale inscrit dans un cercle donn´e ? Le d´eterminer par une m´ethode g´eom´etrique.
Exercice 1279 Soit f :R2 →Rtelle que∀(x, y)∈R2, f(x, .) etf(., y) sont continues. Montrer qu’il existe une suite (gn)n∈N d’applications continues sur R2 telles que :
∀(x, y)∈R2, lim
n→∞gn(x, y) =f(x, y).
38 Fonctions de deux variables 164
Exercice 1280 Trouver les fonctions f continues surR2 telles que :
∀(x, y)∈R2, f(x, y) =f(x+y, x−y).
Exercice 1281 Soit f :R2 →Rcontinue telle que :
kxk→∞lim |f(x)|= +∞.
Montrer que f est minor´ee et atteint sa borne inf´erieure.
Exercice 1282 Etudier la continuit´e, l’existence de d´eriv´ees partielles et le caract`ere´ C1 des applications de R2 dans R:
(x, y)→ sin(xy)
|x|+|y|,(0,0)→0;
(x, y)→x si |x|>|y|,(x, y)→y si |y|>|x|,(x, y)→0 si |x|=|y|; (x, y)→(x2+y2) sin 1
x2+y2,(0,0)→0;
(x, y)→ x3+y3
x2+y2,(0,0)→0;
(x, y)→sin|xy|; (x, y)→ y2
x si x6= 0, y si x= 0.
Exercice 1283 Si f est concave sur un ouvert convexe U ⊂R2 et si :
∃a ∈U, ∂f
∂x1(a) = ∂f
∂x2(a) = 0, alors f admet un maximum local en a.
Exercice 1284 Soit A ⊂R2, on d´efinit R
(A) comme l’ensemble {x∈ A|∃ρ >0, B(x, ρ)⊂ A}.
On supposeraA ferm´ee born´ee et R
(A)6=∅.On suppose que f est une fonction C1 sur Atelle quef est constante surA\R
(A). Montrer qu’il existe z ∈R
(A) tel que :
∂f
∂x1(z) = ∂f
∂x2(z) = 0.
Exercice 1285 Chercher les extr´emums sur R2 des applications : (x, y)→x4+y4 −4xy;
(x, y)→(x−y)exy; (x, y)→xey+yex;
(x, y)→exsiny; (x, y)→x3 +y3.
Exercice 1286 Montrer qu’une normeN surR2ne peut avoir des d´eriv´ees partielles qui existent et qui soient continues en 0.
Exercice 1287 Soit f :R2 →Radmettant des d´eriv´ees partielles continues en 0 et telle que :
∀a∈R2− {0},∀t >0, f(ta) = tf(a).
Montrer que f est lin´eaire.
Exercice 1288 Soit f :R2 →Rune application C1 homog`ene de degr´es >0, i.e. telle que :
∀λ∈R+∗,∀x∈R2, f(λx) = λsf(x).
Montrer que les d´eriv´ees partielles de f sont homog`enes de degr´e s−1 et : sf(x) =x1 ∂f
∂x1(x) +x2 ∂f
∂x2(x).
Exercice 1289 Soit f :R2 →Rune application C1 sur un ouvert convexe O telle que :
∀a ∈O, ∂f
∂x1(a) = ∂f
∂x2(a) = 0.
Montrer que f est constante sur O.
Exercice 1290 R´esoudre l’´equation aux d´eriv´ees partielles : x∂f
∂y −y∂f
∂x =f en passant en coordonn´ees polaires.
Exercice 1291 R´esoudre en utilisant le changement de variable x = u, y =uv l’´equation aux d´eriv´ees partielles suivante :
x2∂2f
∂x2 + 2xy ∂2f
∂x∂y +y2∂2f
∂y2 = 0.
Exercice 1292 Soit f la fonction d´efinie sur R2 par : – si |x|6y, f(x, y) = x2.
– f(x, y) =y2 sinon.
Etudier la continuit´e de´ f et l’existence de d´eriv´ees partielles.
Exercice 1293 D´eterminer max
|z|61|sinz|.On rappelle que : sinz = eiz−e2i−iz.
Exercice 1294 D´eterminer les extr´emums de f : (x, y, z)→x2+y2+z2+ 2xyz.
Exercice 1295 Soit a∈R2 fix´e ; l’application x→ hx, ai deR2 usuel dans R est-elle continue, admet-elle des d´eriv´ees partielles, celles-ci sont elles continues ?